La definición de la gavilla de estructura de un esquema afín $\operatorname{Spec} R$ se suele hacer extendiendo una gavilla definida en la norma abre $D(f)$ , $f\in R$ . A partir de esta definición no queda muy claro qué es lo que los anillos $\mathcal{O}(U)$ para el general $U\subset \operatorname{Spec} R$ . Como señala Ravi Vakil en las notas de la conferencia, cabe esperar que $$\mathcal{O}(U)\cong R_S$$ donde $$S=\{r\in R\mid \forall \mathfrak{p}\in U: r\not\in \mathfrak{p}\}$$ También señala que esto no es cierto, y da un ejemplo de dos planos que se cruzan en un punto, y luego elimina el punto. Más concretamente $$X=\operatorname{Spec} \mathbb{C}[w,x,y,z]/(wy,wz,xy,xz), U=X\setminus\{(w,x,y,z)\}$$ Pero $U$ es claramente la unión de dos subconjuntos abiertos: $U_1$ el $xw$ -con el origen eliminado y $U_2$ el $yz$ -plano con el origen eliminado. Entonces se pueden construir secciones en $U_1$ y $_2$ por separado y pegarlas en una sección de $U$ . Esto deja claro el $\mathcal{O}(U)$ no es una localización de $\mathbb{C}[w,x,y,z]/(wy,wz,xy,xz)$ .
Sin embargo, este ejemplo es en cierto modo trivial, ya que se basa en el hecho de que si $U$ es una unión disjunta de $U_1$ y $U_2$ entonces $$\mathcal{O}(U)=\mathcal{O}(U_1)\times \mathcal{O}(U_2)$$ Así que me pregunto si hay ejemplos que no se basan en este hecho. Así que si hay un esquema afín $\operatorname{Spec} R$ con un subconjunto abierto irreducible $U$ tal que $\mathcal{O}(U)$ no es una localización de $R$ .
Edición: otra forma de ver la misma cuestión es adoptando la perspectiva de Hartshornes. Secciones sobre $U$ son mapas a los tallos que se pueden realizar localmente por fracciones. Entonces, ¿hay un ejemplo de un irreducible $U$ y una sección $s:U\to \bigcup_{\mathfrak{p}\in U}R_\mathfrak{p}$ para que localmente $s=\frac{g}{h}$ pero no es posible escribir $s$ así en todos los $U$ ?
