Demostrar que $\angle{CBM}=60^{\circ}-\frac{n}{2}$

Question

Dada una $\triangle{ABC}$ con $\angle{BAC}=2\cdot \angle{ACB}=n^{\circ}$ donde $0<n<120$ , dejemos que $M$ sea un punto interior de $\triangle{ABC}$ con $BA=BM$ y $MA=MC$ . Demostrar que $\angle{CBM}=60^{\circ}-\frac{n}{2}$ .

Intento:

Sabemos que $\alpha+\beta = \angle{BAC} = n^{\circ}$ y que $$\angle{BAC}+\angle{ACB}+\angle{CBA} =\dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)+\angle{CBA} = 180^{\circ}.$$ También, $\angle{CBM} = \angle{CBA}-180^{\circ}+2\alpha$ y por lo tanto $$\dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)+\angle{CBA} = \dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)+\angle{CBM}+180^{\circ}-2\alpha =180^{\circ}$$ lo que significa que $$\dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)+\angle{CBM} = 2\alpha$$ y $$\angle{CBM} = \dfrac{1}{2}(\alpha-3\beta) = \dfrac{1}{2}(n-4\beta).$$ ¿Cómo se continúa a partir de aquí?

Answer 1

Trazar la línea $BD$ en paralelo a $AC$ y elija $D$ tal que $CD=BD$ , entonces trata de demostrar que $BMD$ es un triángulo equilátero, entonces la solución será la siguiente.

Prueba

De la construcción tenemos que $\angle BCD=\angle DBC= n/2$ Por lo tanto $$\angle ACD=n/2+n/2=n= \angle BAC.$$

De ello se desprende que $ABDC$ es un trapecio isósceles, entonces $AB=CD$ . Esto implica que $ABM$ y $CMD$ son triángulos congruentes, en particular $$CD=MD=MB=AB.$$ Fnally $BD=CD$ por construcción, así que $$CD=MD=MB=AB=BD.$$