Encuentre el volumen delimitado por el $xy$ plano, cilindro $x^2 + y^2 = 1$ y la esfera $x^2 + y^2 +z^2 = 4$

Question

Encuentre el volumen delimitado por el $xy$ plano, cilindro $x^2 + y^2 = 1$ y la esfera $x^2 + y^2 +z^2 = 4$ .

Estoy luchando por establecer los límites de la integración.
En primer lugar, calcularé la parte del volumen del "primer cuadrante".
$z$ atravesará desde $0$ a $2$ .
$x$ debe partir del cilindro e ir hasta el borde del círculo actual de la esfera: $$\sqrt{1-y^2} \le x \le \sqrt{4-x^2-z^2}$$ Sin embargo, lo mismo ocurre con $y$ (Ahora mismo sólo estoy calculando la mitad del volumen, donde el círculo más pequeño es el límite inferior):
$$\sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{4-y^2-z^2}$$ Sin embargo, esto no puede funcionar ya que ambos $x$ y $y$ son dependientes.
¿Cuál es el error?

Answer 1

Dejemos que $f(x, y) = \sqrt{4-(x^2 + y^2)}$ sea la función que para cada punto más cercano a $4$ al origen del $xy$ -El plano da la altura de la mitad superior de $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ sobre ese punto. Entonces lo que quieres es la integral de esta función, sobre el disco unitario.

Expresado en coordenadas polares, viene dado por $$\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r\sqrt{4-r^2}dr$$

Answer 2

Hay varias formas de calcular la integral triple $$V=\iiint_B\,dxdydz$$ donde $B$ es una torre (cilindro) con un techo (esfera).

Una forma de hacerlo es dividir la integración como $$V=\int_0^2\Big(\iint_{B_z}\,dxdy\Big)dz.$$ Aquí $B_z$ es la intersección del cuerpo $B$ con el plano de la constante $z$ (rodajas horizontales). Es problemático, ya que el cuerpo debe dividirse en dos partes (una para la torre y otra para el techo). Aquí es más conveniente hacer la división vertical $$V=\iint_{x^2+y^2\le 1}\Big(\int_0^{\text{top of the sphere}}dz\Big)dxdy.$$