Para la función $$y = \frac{2x^2}{x-3},$ $ entiendo que $x = 3$ y $y = 2x+6$ son asíntota, pero según las respuestas de mi libro, hay una discontinuidad en el origen. ¿Por qué es esto?
Respuestas
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Gudmundur Orn
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Para discontinuidad en $x=0$, vamos a ver como sigue los límites de mano izquierda y mano derecha
$$LHL=\lim{x\to 0^{-}}\frac{2x^2}{x-3}$$ $$=\lim{h\to 0}\frac{2(0-h)^2}{(0-h)-3}$$ $$=\lim{h\to 0}\frac{2h^2}{-h-3}$$ $$=\lim{h\to 0}\frac{-2h^2}{h+3}=\frac{-2(0)^2}{0+3}=0$$
Del mismo modo, $$RHL=\lim{x\to 0^{+}}\frac{2x^2}{x-3}$$ $$=\lim{h\to 0}\frac{2(0+h)^2}{(0+h)-3}$$ $$=\lim_{h\to 0}\frac{2h^2}{h-3}$$ $$=\frac{2(0)^2}{0+3}=0$$ & we have $$f(0)=\frac{2(0)^2}{0-3}=0$$ Thus, we have $$LHL=RHL=f(0)$$ Hence the function $ y=\frac{2x^2}{x-3}$ is continuous at $x=0$ i.e. it has no discontinuity at $x=0$.
