Confusión del teorema de Girsanov

Question

Me estoy quedando completamente atascado por los errores de signo cuando uso el teorema de Girsanov. Simplificando, supongamos que $W_t$ es un movimiento browniano estándar bajo una medida de probabilidad $\mathbb{P}$ y tenemos un movimiento browniano con deriva constante

$\tilde W_t = W_t+\theta t$

Entonces el teorema de Girsanov dice que $\tilde W_t$ es un movimiento browniano sin deriva bajo una medida de probabilidad $\mathbb{Q}$ que tiene la derivada de Radon-Nikodym

$Z_t=\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}=\exp(-\theta W_t - \theta^2 t/2)$

Mi confusión surge cuando se invierte esto, de manera que al escribir $W_t=\tilde W_t-\theta t$ el teorema de Girsanov dice que $W_t$ es un movimiento browniano sin deriva bajo $\mathbb{P}$ , donde

$\frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{Q}}=\exp(\theta W_t - \theta^2 t/2)\neq \frac{1}{Z_t}$

¿Puede alguien explicar qué está pasando aquí?

Answer 1

En realidad, escribir $W_t=\tilde W_t-\theta t$ (el) teorema de Girsanov dice que $W_t$ es un movimiento browniano sin deriva bajo $\mathbb P$ , donde ... $$\left.\frac{d\mathbb P}{d\mathbb Q}\right|_{\mathcal F_t}=\exp\left(\theta \color{red}{\tilde W_t} - \tfrac12\theta^2 t\right)=\exp\left(\theta W_t +\tfrac12\theta^2 t\right)=\frac{1}{Z_t}$$