Problemas para probar la identidad trigonométrica$\frac{1-2\sin(x)}{\sec(x)}=\frac{\cos(3x)}{1+2\sin(x)}$

Question

He atascado mientras que la solución de una identidad trigonométrica. Es:

$$\frac{1-2\sin(x)}{\sec(x)}=\frac{\cos(3x)}{1+2\sin(x)}$$

He simplificado el lado izquierdo como puedo:

\begin{align} \frac{1-2\sin(x)}{\sec(x)} &=\frac{1-2\sin(x)}{1/\cos(x)}=(1-2\sin(x))\cos(x)\\ &=\cos(x)-2\sin(x)\cos(x)=\cos(x)-\sin(2x) \end{align}

Sin embargo, no estoy seguro de qué hacer en el lado derecho. Sé que puedo utilizar un ángulo compuesto de fórmula para romper $\cos(3x)$ a $\cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x)$; sin embargo, no sé a dónde ir después de eso. Mi principal problema es con el denominador del lado derecho, que no puedo averiguar cómo deshacerse de él, ya sea por la multiplicación, o mediante el uso de una identidad trigonométrica. Cualquier ayuda en la solución de esta identidad sería muy apreciada!

Answer 1

Tenemos eso para$\cos x\neq 0$ y$\sin x \neq -\frac12$

ps

luego recuerda que$$ \frac{1-2\sin(x)}{\sec(x)}=\frac{\cos(3x)}{1+2\sin(x)}\iff(1-2\sin(x))(1+2\sin(x))=\frac{\cos (3x)}{\cos x}$

ps

ps

Answer 2

Me gustaría multiplicar de forma cruzada, sin preocuparme por dónde las funciones son cero, para obtener

$ \begin{array}\\ \cos(x)(1-4\sin^2(x)) &=cos(3x)\\ &=\cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x)\\ &=\cos(2x)\cos(x)-2\cos(x)\sin^2(x)\\ \end {array} $

o

$ \begin{array}\\ 1-4\sin^2(x) &=\cos(2x)-2\sin^2(x)\\ \text{or}\\ 1-2\sin^2(x) &=\cos(2x)\\ \end {array} $

que es bien conocido

Luego ejecuta esto en reversa para obtener la ecuación original.

Answer 3

Trabajando en un lado y finalmente obteniendo el otro lado:$$\frac{1-2sinx}{secx}$ $$$cosx-2sinxcosx$ $$$\frac{(cosx-2sinxcosx)(1+2sinx)}{1+2sinx}$ $$$\frac{cosx+2sinxcosx-2sinxcosx-4sin^2xcosx}{1+2sinx}$ $$$\frac{cosx-4(1-cos^2x)cosx}{1+2sinx}$ $ El numerador es la identidad estándar para el numerador del RHS

Answer 4

La identidad es equivalente a $$ \ cos3x = \ cos x (1-4 \ sin ^ 2x) $$ (a excepción de los valores donde los denominadores desaparecen). El lado derecho se puede volver a escribir como $$ \ cos x (\ cos ^ 2x + \ sin ^ 2x-4 \ sin ^ 2x) = \ cos ^ 3x-3 \ cos x \ sin ^ 2x $$ que se sabe que ser lo mismo que$\cos3x$: por De Moivre \begin{align} \cos 3x+i\sin3x &=(\cos x+i\sin x)^3 \\ &=\cos^3x+3i\cos^2x\sin x+3i^2\cos x\sin^2x+i^3\sin^3x\\ &=(\cos^3x-3\cos x\sin^2x)+i(3\cos^2x\sin x-\sin^3x) \end {align} Por supuesto, también puedes usar \begin{align} \cos3x &=\cos(2x+x)\\ &=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x\\ &=(\cos^2x-\sin^2x)\cos x-2\cos x\sin^2x\\ &=\cos^3x-3\cos x\sin^2x \end {align}