Intuición para los momentos superiores en la estadística circular

Question

En estadística circular, el valor de la expectativa de una variable aleatoria $Z$ con valores en el círculo $S$ se define como $$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$$ (ver wikipedia ). Esta es una definición muy natural, al igual que la definición de la varianza $$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$$ Así que no necesitamos un segundo momento para definir la varianza.

No obstante, definimos los momentos superiores $$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$$ Admito que esto parece bastante natural también a primera vista, y muy similar a la definición en la estadística lineal. Pero aún así me siento un poco incómodo, y tengo lo siguiente

Preguntas:

1. Lo que miden los momentos superiores definida anteriormente (intuitivamente)? ¿Qué propiedades de la distribución pueden ser caracterizadas por sus momentos?

2. En el cálculo de los momentos superiores utilizamos la multiplicación de números complejos, aunque pensamos en los valores de nuestras variables aleatorias simplemente como vectores en el plano o como ángulos. Sé que la multiplicación compleja es esencialmente una suma de ángulos en este caso, pero aún así: ¿Por qué la multiplicación compleja es una operación significativa para los datos circulares?

Answer 1

Los momentos son los coeficientes de Fourier de la medida de probabilidad $P^Z$ . Supongamos (por intuición) que $Z$ tiene una densidad. Entonces el argumento (ángulo de $1$ en el plano complejo) de $Z$ tiene una densidad en $[0,2\pi)$ y los momentos son los coeficientes cuando esa densidad se expande en una serie de Fourier. Por tanto, se aplica la intuición habitual sobre las series de Fourier: éstas miden la intensidad de las frecuencias en esa densidad.

En cuanto a tu segunda pregunta, creo que ya has dado la respuesta: "la multiplicación compleja es esencialmente una suma de ángulos en este caso".