Encontrar todos los campos vectoriales paralelos a lo largo de una curva

Question

Me dan una representación local de una métrica $g$ sobre el verdadero espacio proyectivo $\mathbb{R}P^2$

$$g^{\varphi} = \frac{1}{(\rho^2+1)^2} d \rho^2 +\frac{\rho^2}{(\rho^2 + 1)} d\theta^2$$ donde $$\varphi \colon (\rho, \theta) \mapsto [\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, 1]$$ y la curva de $$\alpha \colon t \mapsto [r \cos t, r \sin t, 1] \in \mathbb{R}P^2$$ Se me pide que buscar todos los paralelos campos vectoriales a lo largo de $\alpha$, y estoy un poco perdido sobre cómo proceder. Si alguien pudiera dar algunas indicaciones sobre lo que debo hacer, yo estaría agradecido. Gracias de antemano.

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Así que voy a intentar algo que no estoy completamente seguro de que funciona. Primero parece que tenemos que hacer $\Gamma_{ij}^k \circ \alpha$$k = 1, 2$. Para $k=1$ uno se $$\begin{pmatrix} -\frac{2r\cos t}{r^2\cos^2t + 1} & 0\\ 0 & -r\cos t \end{pmatrix}$$ y para $k = 2$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{r \cos t(r^2\cos^2 t + 1)} & 0 \\ 0 & \frac{1}{r\cos t(r^2 \cos^2 t + 1)} \end{pmatrix}$$ desde $\rho(t) = r\cos t, \theta(t) = r\sin t$. Ahora tengo que multiplicar dos dos de la matriz anterior por $\alpha'(t)$, de modo que la puedo obtener un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Pero mi curva de $\alpha(t)$ tiene tres coordenadas (los dos reales y el punto en el infinito), entonces, ¿cómo debo tratar de que?

Answer 1

Deje $X:\ I\rightarrow TM$ ser un vector tangente campo a lo largo de $\alpha:\ I\rightarrow M$ I abreviar $\Bbb{R}P^2$ $M$y llamar al dominio de $\alpha$ $I$). El campo de vectores tangentes a $\alpha$ llamamos a $T=\alpha'$. Para $X$ a ser paralelo a lo largo de $\alpha$ significa que $\nabla_TX=0$ donde $\nabla$ es la de Levi-Civita de conexión en $M$. Bueno, en realidad es más complicado, ya que se necesita técnico para ir a la retirada de paquete de $\alpha^*TM$ y el uso de la retirada de la conexión $\alpha^*\nabla$, pero para el cálculo de estos tecnicismos, no importa mucho creo.

Lo que nos interesa es el de coordenadas local de la expresión de la derivada covariante $\nabla_TX=0$. Dada una base local de tengent campos vectoriales $\{\partial_\rho,\partial_\theta\}=\{\partial_1,\partial_2\}$, la derivada covariante satisface $$\begin{equation} \begin{split} \nabla_{\partial_i}\partial_j&=\Gamma_{ij}^k\partial_k\\ \nabla_{fX}Y&=f\nabla_XY\\ \nabla_X(fY)&=(Xf)Y+f\nabla_XY, \end{split} \end{equation}$$ donde $\Gamma_{ij}^k$ son los símbolos de Christoffel de la conexión de $\nabla$, e $f$ algunas de las funciones que podemos multiplicar un vector de campo. Estas tres reglas le permiten calcular la derivada covariante, dado de coordenadas local expresiones de un campo vectorial, y el conocimiento de los símbolos de Christoffel.

Los símbolos de Christoffel de la de Levi-Civita de la conexión (en el que está utilizando) tiene una expresión particular en una base de coordenadas de la tangente campos vectoriales (como en tu caso). Entonces tenemos $$\begin{equation} \Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}g^{kl}\left(\partial_ig_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}\right), \end{equation}$$ donde $g^{kl}$ son los componentes de la inversa de la matriz de representación de la métrica en la opción de coordenadas.

Lo que se necesita hacer es calcular los símbolos de Christoffel y el uso de las tres reglas anteriores para calcular la derivada covariante de un genérico tangente campo vectorial a lo largo de $\alpha$. Siéntase libre de comentar si usted podría utilizar más aclaración y puedo modificar esta respuesta para ser más explícito :)

A partir de la expresión coordinada de $\alpha$, que es $\rho(t)=r$, $\theta(t) = t$, obtenemos la expresión para el campo tangente a $\alpha$, que es $$\begin{equation} T(t) = \alpha'(t) = \frac{d\rho}{dt}\partial_\rho + \frac{d\theta}{dt}\partial_\theta=\partial_\theta. \end{equation}$$

Ahora queremos que el genérico de campo vectorial a lo largo de $\alpha$ a los componentes dependiendo del parámetro de tiempo de $t$, es decir, escribir $X(t) = A(t)\partial_\rho + B(t)\partial_\theta$. Entonces tenemos un poco de expresión como $\nabla_{T(t)}X(t)=0$. Tenemos que modificar la regla de la tercera parte, acerca de diferenciar el coeficiente de la función, ya que los componentes de $X$ aquí dependerá de $t$ y no son funciones en $M$ (de nuevo, tal vez un tecnicismo que no es la cosa más importante cuando primero aprender a calcular). Desde $T$ es el campo de vectores a lo largo de $\alpha$, podemos tomar la derivada a lo largo de $T$ como ser un tiempo de derivados, a grandes rasgos, y escribo esto como $$\begin{equation} \nabla_{T(t)}(f(t)\partial_i) = \frac{df}{dt}\partial_i + f(t)\nabla_{T(t)}\partial_i, \end{equation}$$ donde el segundo término sólo sale como la multiplicación con los símbolos de Christoffel. Como referencia se quiere terminar con algo como $A'(t) + A(t)\Gamma+B(t)\Gamma = 0$, creo. Vamos a ver si eso ayuda!

Ahora ponemos $X(t) = A(t)\partial_\rho + B(t)\partial_\theta$, $T(t)=\partial_\theta$, y la ecuación de $\nabla_TX=0$ se convierte en $$\begin{equation} A'(t)\partial_\rho + A(t)\Gamma_{\theta\rho}^\rho\partial_\rho + A(t)\Gamma_{\theta\rho}^\theta\partial_\theta + B'(t)\partial_\theta + B(t)\Gamma_{\theta\theta}^\rho\partial_\rho + B(t)\Gamma_{\theta\theta}^\theta\partial_\theta = 0. \end{equation}$$ Ahora igualando coeficientes, vemos que los coeficientes antes de $\partial_\rho$ $\partial_\theta$ debe ser cero, por lo que tenemos $$\begin{equation} A'(t) + A(t)\Gamma_{\theta\rho}^\rho + B(t)\Gamma_{\theta\theta}^\rho = 0, \end{equation}$$ y otra similar de la ecuación. Ahora escribir los símbolos de Christoffel como funciones de $t$, componiendo con $\alpha$. En este punto es una cuestión de la solución de los dos junto Odas para$A$$B$. Si se ven realmente difícil de resolver que uno podría querer comprobar que los símbolos de Christoffel se calcula correctamente.