Aparente contradicción con Mayer-Vietoris de cohomology de la gavilla

Question

Tratando de resolver el Ejercicio 2.7 b) del Capítulo III de Hartshorne de la Geometría Algebraica tengo pegado sobre una aparente contradicción.

El ejercicio pide a demostrar que $H^1(S^1, \mathcal{R})=0$ donde $S^1$ es el círculo con su habitual y topología de la $\mathcal{R}$ es la gavilla de la real continua con valores de funciones.

Pensé que aplicar la de Mayer-Vietoris secuencia para el cohomology con el apoyo a los subconjuntos cerrados de $S^1$:

$U:=\{(cos\theta, sen\theta): \theta \in [o,\pi]\},$

$V:=\{(cos\theta, sen\theta): \theta \in [\pi,2\pi]\},$

Su intersección es el par de puntos de $\{(1,0),(-1,0)\}$.

Se observa que el $\mathcal{R}$ es un flasque gavilla (es decir, si $U\subseteq V$ están abiertos establece a continuación, el mapa de restricción $\mathcal{R}(V) \rightarrow \mathcal{R}(U)$ es un surjection, gracias al Ejercicio 2.3 c) de este mismo Capítulo, todos los cohomology grupo de grado mayor que $0$ calculado sobre una flasque gavilla son triviales. Esto podría resolver el ejercicio, por sí mismo, sino sólo mantener a pensar en esta dirección por un momento...). Recordemos que la $H^0_Y(X,\mathcal{F})=\Gamma_Y(X,\mathcal{F})$ obtenemos el (corto) de la secuencia exacta:

$0 \rightarrow \Gamma_{U \cap V}(S^1, \mathcal{R}) \rightarrow \Gamma_U(S^1, \mathcal{R})\oplus\Gamma_V(S^1, \mathcal{R}) \rightarrow \Gamma(S^1, \mathcal{R}) \rightarrow 0.$

Tomando una mirada más cercana a los grupos involucrados me di cuenta de que $\Gamma_{U \cap V}(S^1, \mathcal{R})\simeq 0$ porque el germen de una función continua en un punto es igual a cero fuera de ese punto debe ser cero también en el punto, por la continuidad. Para otros términos de $\Gamma_U(S^1, \mathcal{R}) \simeq \Gamma_V(S^1, \mathcal{R}) \simeq \mathcal{C}([0,1])_{\partial=0}$ el grupo de funciones continuas en $[0,1]$ que son cero en el límite. Y $\Gamma(S^1, \mathcal{R}) \simeq \mathcal{C}([0,1])_{per}$ el grupo de continuo de las funciones de $[0,1]$ tal que $f(0)=f(1)$.

Por la secuencia anterior, podemos deducir que $\mathcal{C}([0,1])_{per} \simeq \mathcal{C}([0,1])_{\partial=0}\oplus \mathcal{C}([0,1])_{\partial=0}$. Pero realmente yo no lo veo (he tratado de hacer algo con Borsuk-Ulam teorema, pero el asunto es que no creo que es verdad).

Por favor alguien puede explicar dónde está mi error se encuentra? O, de otro modo, cómo los grupos anteriores son isomorfos?

Answer 1

No es cierto que $\mathcal R$ es flasque: la función de $1/(x-1)$ sobre el círculo menos $(0,0)$ no puede ser extendida de forma continua para el círculo .
Sin embargo $H^1(S^1,\mathcal R)=0$ debido a la gavilla $\mathcal R$ es suave.
Nota sin embargo que para la constante de gavilla $\underline{\mathbb R}$ tenemos $H^1(S^1,\underline {\mathbb R})=\mathbb R$ porque en un paracompact espacio cohomology de una constante gavilla coincide con singular cohomology y $H^1_{\operatorname {sing}}(S^1,\underline {\mathbb R})=\mathbb R$

Comentario
Tenga en cuenta que a fin de evitar cualquier malentendido con la constante gavilla $\underline {\mathbb R}$ podría ser más seguro de usar, mucho más habitual en la notación $\mathcal C_X$ (en lugar de $\mathcal R$) de la gavilla de los verdaderos valores de funciones continuas sobre un espacio topológico $X$.