definición de la topología compacta-abierta

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios topológicos y que $C(X,Y)$ denotan el conjunto de mapas continuos de $X$ a $Y$ . Para dos subconjuntos cualesquiera $A \subset X$ y $B \subset Y$ dejar $W(A,B) := \{ f \in C(X,Y) \mid f(A) \subset B\}$ . El compacto-abierto topología en $C(X,Y)$ es la topología con subbase formada por los conjuntos $W(K,V)$ para todos los subconjuntos compactos $K\subset X$ y subconjuntos abiertos $V \subset Y$ .

Sin embargo, en Bourbaki el término compacto significa Hausdorff compacto . Supongamos que, en cambio, tomamos como subbase los conjuntos $W(K,V)$ para todos los compactos Hausdorff $K \subset X$ y subconjuntos abiertos $V\subset Y$ . En general, ¿da esto la misma topología que la anterior?

Answer 1

Hay muchos conflictos de notaciones/nociones entre el francés y el inglés : $]0,1[/ (0,1)$ , compacto/compacto de Hausdorff, $\mathrm X / X$ o con el coeficiente binomial $\mathrm C_n^p$ .

Como dice Wikipedia En general, la definición correcta de la topología compacta-abierta es la francesa.

Nótese que en la Geometría Aglebraica, la topología de Zariski no es Hausdorff y se dice que los conjuntos son cuasi-compactos para significar que satisfacen el axioma de Borel-Lebesgue.

Por lo tanto, cuasi-compacto + Hausdorff = compacto; y compacto debería usarse sólo para los espacios Hausdorff.

Y esto te da el contraejemplo que querías. Tomemos por ejemplo $\rm X$ el espectro de Zariski de un anillo. Entonces todos los subconjuntos abiertos son cuasi-compactos pero hay extremadamente pocos subconjuntos compactos.