Intersección entre las sumas de los primeros enteros positivos, primos y no primos

Question

Conjetura : $$\left\{\sum\limits_{\begin{array}{c}k=1\\k\in\mathbb{Z}\end{array}}^nk \ |\ n\in\Bbb Z\right\} \cap \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c}k=1\\k\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{P}\end{array}}^nk \ |\ n\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{P}\right\rbrace \cap \left\{\sum\limits_{\begin{array}{c}k=2\\k\in\Bbb P\end{array}}^nk\ |\ n\in\Bbb P\right\}= \{ 28 \}$$

(es decir : A000217 $\cap$ A051349 $\cap$ A007504 = { 28 } )

En otras palabras : es 28 el único número que puede escribirse como una suma de los primeros n enteros positivos (1+2+3+4+5+6+7), m primera no primos (1+4+6+8+9) y p primero de los números primos (2+3+5+7+11) ?

No encontré ningún otro número por debajo de $10^{14}$ con esta propiedad (Haskell secuencia de comandos aquí).

EDIT : he publicado la pregunta sobre http://mathoverflow.net/questions/212985/intersection-between-the-sums-of-the-first-integers-primes-and-non-primes

Answer 1

A menos que haya una sistemática razón de estas secuencias para coincidir o evitar el uno al otro (que lo dudo), podemos estimar el número de triple coincidencia de estas tres secuencias mediante la integración sobre el producto de sus densidades. El primero tiene una densidad de $1/n$$a_n=n(n+1)/2$, por lo que a $x$ que tiene una densidad de $\sim(2x)^{-1/2}$. Los demás, tanto omitir los números, así que en un determinado $x$ sus densidades son inferiores a este.

Así podemos obtener una cota superior para la "probabilidad" de que no hay tales números más allá de algunos $x_0$ a partir de esta integral:

$$ \int_{x_0}^\infty\left(2x\right)^{-3/2}\mathrm dx=(2x_0)^{-1/2}\;. $$

Como has buscado a a $10^{14}$, la "probabilidad" de encontrar una triple coincidencia, más allá de que es de menos de uno en diez millones de dólares. A menos que haya una sistemática de la razón...