Intercambiar el orden de la suma mecánicamente

Question

¿Cómo puedo intercambiar el orden de la suma mecánicamente, sin pensar? Por ejemplo, he tenido que intercambiar las siguientes sumas (suponiendo $i$ es una constante donde $i\gt 0$ ).

$$\sum_{n\ge 1}\sum_{i\lt k \lt n} a_{nk}$$

Escribí una matriz, y la leí por columnas en vez de por filas, llegué a:

$$\sum_{k\gt i}\sum_{n\gt k} a_{nk}$$

Lo cual creo que es correcto.

Pero debe haber una manera de hacerlo mecánicamente, sin escribir la matriz. Por mecánicamente, me refiero a algo como lo que ocurre con esta suma, donde puedo hacer los pasos sin pensar:

$$\sum_{n\gt k}\frac{1}{n} z^n = \sum_{n-k\gt k-k}\frac{1}{n} z^n $$ $$m=n-k\implies n=m+k$$ $$\sum_{n-k\gt 0}\frac{1}{n} z^n = \sum_{m\gt 0}\frac{1}{m+k} z^{m+k}$$

Aquí no hace falta pensar, sólo álgebra.

Concrete Mathematics llama a mi ejemplo una doble suma "rocambolesca" y sugiere utilizar la notación Iverson, pero no he podido aplicarla a mi caso.

Answer 1

Siempre que la constante $ i$ es al menos $-1$ tenemos $$ n\ge 1\;\land \;i<k<n\iff k>i\;\land\;n>k$$ Por lo tanto (siempre que el reordenamiento esté justificado porque o bien tenemos convergencia absoluta o porque en lugar de una serie que corre a $\infty$ realmente tenemos un sol corriendo a algunos $N$ , digamos) $$ \sum_{n=1}^\infty\sum_{k=i+1}^{n-1}=\sum_{k=i+1}^\infty\sum_{n=k+1}^\infty$$

Answer 2

Yo uso esta forma:

$$\begin{align*}\\\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=i + 1}^{n - 1} a_{n, k} &= \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} a_{n, k} \cdot 1(i < k < n)\\&= \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n, k} \cdot 1(i < k < n)\\&= \sum_{k=i + 1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n, k} \cdot 1(k < n)\\&= \sum_{k=i + 1}^{\infty} \sum_{n=k+1}^{\infty} a_{n, k}\end{align*}$$

Answer 3

Preveo que $i$ es un número entero fijo no negativo.

Dejemos que $b_{nk}=1$ si $n\geq1\wedge i<k<n$ y $b_{nk}=0$ de lo contrario.

Entonces: $$\sum_{n\geq1}\sum_{i<k<n}a_{nk}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\sum_{k\in\mathbb{Z}}a_{nk}b_{nk}=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_{nk}b_{nk}=\sum_{k>i}\sum_{n>k}a_{nk}$$

Esto, por supuesto, si la suma está bien definida. No se necesita ninguna matriz.