¿Por qué el grupo fundamental del plano proyectivo es $C_{2}$ ?

Question

Hace poco supe que existen topologías con grupos fundamentales finitos no triviales (curva de homotopía). Pero no consigo entenderlo del todo.

Si tienes una curva y de alguna manera no puedes reducirla a cero, entonces debe haber un agujero que impide que la curva se reduzca. Y como hay un agujero ahí, puedes simplemente envolver la curva alrededor del agujero tantas veces como quieras, produciendo una curva más no-homotópica. Así que el grupo fundamental, si no es trivial, debe contener una copia de $\mathbb{Z}$ ¿verdad?

Aparentemente, ese razonamiento no funciona, pero no consigo entender qué ha fallado aquí. Entonces, si no es un agujero lo que bloquea la contracción, ¿qué es exactamente? ¿Cuál es una forma concreta de visualizar tal cosa?

Answer 1

Aquí tienes una versión ilustrada de la respuesta de Sharkos. Utilizaremos el modelo de disco de P2: consideremos un disco con puntos antípodas en su frontera identificados.

Podemos imaginar un camino cerrado que comienza en el centro, va recto hacia arriba (1ª parte en azul claro) llega al punto más alto del límite del disco -que es también el punto más bajo del límite del disco- y luego continúa hacia arriba (ahora desde abajo, 2ª parte en azul oscuro) para llegar de nuevo al centro y cerrar el bucle:

No podemos reducir este bucle a un punto: podemos modificarlo en el interior del disco, pero eso no nos lleva muy lejos. Y si intentamos modificar el bucle en el punto en que cruza la frontera, tenemos que mover la parte superior y la parte inferior del bucle para que se crucen en puntos antípodas, de lo contrario rompemos el bucle. Por ejemplo, haciendo lo siguiente se rompe el bucle:

Podemos deslizar ambos puntos para que queden enfrentados:

Pero eso no nos permite reducir este bucle a un punto.

A continuación consideramos un bucle que cruza dos veces la frontera:

El bucle parte del centro, sube recto hasta la parte superior del disco (1ª parte en azul claro), sube desde la parte inferior hasta el centro (2ª parte en azul oscuro), continúa hasta la parte superior del disco (3ª parte en rosa) y finalmente sube desde la parte inferior del disco de vuelta al centro para cerrar el bucle (4ª parte en rojo).

Como en el ejemplo anterior, si movemos un punto donde la trayectoria cruza el límite tenemos que mover el punto opuesto en sentido contrario para que sigan siendo antípodas entre sí. Podemos empezar a girar la 1ª y 2ª parte de la trayectoria en sentido contrario a las agujas del reloj de forma continua hasta que quede así:

El bucle no se rompe de ninguna manera. Seguimos girándolo:

Hasta que hayamos girado la primera mitad de la trayectoria 180 grados:

Y aquí es donde ocurre la magia: si imaginamos que una partícula sigue a lo largo del bucle, viaja hacia abajo por la parte 2 (en azul oscuro) y cuando llega al centro da la vuelta y viaja hacia arriba por la parte tres (en rosa). Eso significa que podemos tirar hacia arriba del punto donde se encuentran el final de la parte 2 y el principio de la parte 3 sin romper el bucle:

Ahora podemos tirar de la parte 2-3 del bucle más allá del límite:

En qué puntos es evidente que el bucle es contractible.

Como ha dicho Sharkos, es el deslizamiento de puntos sobre el límite lo que interfiere con nuestra intuición: cuando sólo hay un punto en el que el camino cruza el límite no podemos reducir el bucle a un punto porque cada vez que movemos ese punto debe "reflejarse" en el lado opuesto del círculo (esto es más una apelación a nuestra intuición que una prueba rigurosa). Cuando la trayectoria cruza el límite dos veces, podemos deslizar un par de puntos opuestos para "desenredar" el bucle.

Answer 2

$\mathrm{SO}(3)$ (que también es $\mathbb{R}P^3$ ) es un famoso ejemplo "básico" para los físicos. (Véase Grupo fundamental de $SO(3)$ , Visualización del grupo fundamental de SO(3) , https://mathoverflow.net/questions/38219/intuition-on-finite-homotopy-groups y Una idea intuitiva sobre el grupo fundamental de $\mathbb{RP}^2$ (estos dos últimos se ajustan más a lo que estoy diciendo). El truco del cinturón o placa de Dirac es una forma sugerente de aproximarse al grupo fundamental de esta variedad.

Para concretar, describimos $\mathbb{R}P^2$ como un cuadrado, como Joseph señaló en los comentarios:

Del mismo modo, describiríamos $\mathrm{SO}(3)$ como una bola sólida con puntos antípodas identificados. Entonces, intuitivamente, probablemente puedas convencerte rápidamente de que

• cualquier bucle que se encuentre en el "interior" del cuadrado/bola (es decir, que no llegue a ningún punto antípoda) es contractible.
• cualquier bucle que abandone el centro, "sobrepase la frontera" una vez y continúe de vuelta al origen no es contractible.

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El truco, sin embargo, está en considerar seguir este último bucle dos veces . Resulta que doblando uno de los cruces se puede anular el cruce de límites.

No voy a abrir Paint ahora, pero imagina una línea que cruza de izquierda a derecha dos veces muy cerca. (Deberían formar un par de líneas paralelas colocadas simétricamente en el centro). Llama a las 'dos' líneas que dibujes $L,M$ pasando de $l_1 \to l_2$ y $m_1 \to m_2$ de izquierda a derecha, respectivamente.

Ahora $l_2$ se limita a ser antipodal a $m_1$ y de forma similar los otros dos puntos, pero (como señaló Stefan) hay libertad para mover estos pares de forma independiente. Empieza a deslizar $l_2$ alrededor del cuadrado en sentido contrario a las agujas del reloj. $m_1$ se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj. Esto hace que $L$ comienzan a doblarse hacia arriba a la derecha, y $M$ comienza a doblarse hacia abajo a la izquierda.

Continuando con esto, se trae $l_2$ todo el camino hasta $m_2$ (y $m_1$ hasta $l_2$ ). Ahora $L$ y $M$ sólo forman un pequeño bucle sobre el límite, y pueden contraerse juntando los cuatro puntos.

Dibuja las etapas intermedias y quizá te convenzas.

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Es esta libertad de deslizar las cosas lo que te jode la intuición. Usted realmente no puede visualizar los planos proyectivos como bonitas superficies incrustadas orientadas, por lo que su intuición de que los grupos fundamentales están determinados por el género es... horriblemente quebrada, por decir lo menos.

Answer 3

Considere el mapa $z \mapsto z^2$ del círculo unitario en el plano complejo. Esto nos da una fibración $S^1 \to S^1$ de grado dos. Si recorre el círculo objetivo una vez, llegará a $-1$ en el círculo fuente. Realmente necesitas dar dos vueltas al círculo de destino para obtener un bucle honesto en el círculo de origen.

Consideremos ahora la fibración $S^2 \to {\bf R}P^2$ dada por la identificación de los puntos antípodas. La intuición del párrafo anterior se aplica de nuevo. Hay que rodear cualquier bucle no trivial en ${\bf R}P^2$ dos veces para obtener un bucle honesto en $S^2$ que, por supuesto, se puede contraer porque $S^2$ está simplemente conectada. Si sólo viaja una vez, obtendrá un semicírculo en $S^2$ conectando puntos antípodas y podrás comprobar por ti mismo que no hay forma de reducir este semicírculo a un punto.

Answer 4

Aquí hay otra manera de ver por qué algunos bucles en RP2 son contractibles y otros no, sin referirse a los espacios cociente. En particular, podemos visualizar (sin prueba rigurosa) un bucle cerrado que no es contráctil, pero cuyo "doble" es contráctil.

En lugar de considerar los espacios cociente, podemos pensar en RP2 como la colección de líneas a través del origen en R3. Podemos representarlas como las líneas que unen puntos antípodas en la esfera unidad. Así, desde este punto de vista a punto en RP2 es un línea en la esfera unitaria a través del origen:

Tenemos que cambiar de perspectiva. línea (en la esfera) es un punto en RP2. Y un línea en RP2 es una "secuencia" en abanico de líneas (en la esfera), todas ellas "tocándose". Por ejemplo, dibujar un línea en RP2 podría ser algo así:

Comienza como un único punto en RP2 que es un línea en la esfera unidad, y luego se extiende hacia fuera para formar un línea en RP2.

Un tipo de (contractible) bucle parece un cono:

Obsérvese que se trata de un bucle cerrado porque el primer punto (el rojo línea ) del ruta (el cono ) es el mismo que el último punto (el mismo rojo línea al final del cono ) del ruta . Desde el punto de vista más "tradicional", el bucle es el círculo situado en la parte superior del cono, donde éste toca la esfera unitaria. En el punto de vista del cuadrado con lados opuestos identificados sería el equivalente a un simple bucle dibujado dentro del cuerpo del cuadrado (no cruza el límite en absoluto). Se puede decir que es contractible porque, bueno, es fácil contraerlo a un punto - simplemente reducimos el bucle - que es "estrecha" la cono - hasta que se convierta en un único línea (que por supuesto en RP2 es un punto ):

Eso está muy bien. Ahora vamos a visualizar un bucle no contráctil. Primero empecemos con un "semicírculo" en RP2: una curva ruta cuyos extremos no se tocan. Esto se parece a un medio cono:

Observe cómo el primer línea roja representa el punto inicial de este ruta en RP2, mientras que el último oscuro línea verde representa el punto final del camino. No son en absoluto la misma línea, por lo que no se trata de un camino cerrado. ruta (no un completo cono ). Y si se observa la superficie de la esfera, se puede ver una trayectoria en forma de semicírculo que, de nuevo, no es un bucle cerrado.

A continuación, consideremos lo que ocurre cuando "aplanamos" este cono:

Los dos puntos finales (el rojo y el verde líneas en los bordes del cono) se acercan cada vez más hasta que finalmente se tocan (cuando formamos un "cono plano"). Como se tocan, ahora es un cono cerrado. bucle . Desde el punto de vista de los cuadrados con lados opuestos identificados, se trataría de un bucle que cruza el límite una vez.

Si dedica algún tiempo a imaginar cómo contratar este bucle (es decir cono en la esfera unidad) a un punto (es decir, un línea ), puede que te convenzas de que no se puede hacer. En particular, tenga en cuenta que si intentamos "encoger el cono" como hicimos para el cono completo bucles (conos llenos) por encima entonces el camino se rompe - volvemos a tener un medio cono que no es un bucle cerrado:

Así que tratando de reducir el cono/ bucle rompimos el bucle. Es interesante tratar de imaginar qué ocurriría si intentáramos "elevar" los bordes de este cono plano hacia la parte superior de la esfera comenzando en un punto (cualquier punto), y luego propagando este cambio hacia fuera en dos direcciones opuestas a lo largo de los bordes del cono plano:

Funciona muy bien hasta que se alcanzan dos puntos antípodas en el borde del cono plano (nuestro punto de partida el línea roja y nuestro punto final la línea verde) en el que la "onda ascendente" de un lado quiere torcer el línea en un sentido (mover el punto en una dirección), mientras que la "onda ascendente" del otro lado quiere torcer la misma línea en otro sentido (mover el mismo punto en una dirección diferente), dando lugar a un "desgarro" (la línea roja y el línea verde ya no se tocan). En última instancia, esto parece un problema de orientabilidad : tenemos dos caminos diferentes desde donde empieza la onda hasta el rojo/verde líneas que son iguales cuando el cono es plano. Pero la propagación de esa onda por las dos trayectorias da lugar a dos direcciones diferentes de "arriba", lo que provoca el desgarro.

Resulta instructivo ver una construcción similar que comienza con un full- cono / cerrado- bucle . Al aplanarlo obtenemos un "cono plano" similar:

Tenga en cuenta, no obstante, que cada línea / punto en este piso cono /cerrado- bucle ¡está representado dos veces! Puede verlo, por ejemplo, en cómo el rojo oscuro línea del cono se encuentra con el verde oscuro línea opuesto cuando el cono se aplana completamente. Desde el punto de vista de los cuadrados con lados opuestos identificados, se trataría de un bucle que cruza el límite dos veces.

Ahora bien, si hacemos exactamente el mismo proceso al revés, veremos que esta trayectoria puede reducirse a un punto, estrechando el cono hasta convertirlo en una línea:

En ruta / cono no se rompe cuando hacemos esto. A diferencia del semicono aplanado, como cada punto se contabiliza dos veces en el bucle, podemos empujar uno "hacia arriba" y otro "hacia abajo" sin que se rompa, lo que nos da los dos lados opuestos del cono.

Me gusta este punto de vista porque no se señala ningún punto como "especial", a diferencia de la formulación del espacio cociente, donde parece que la frontera desempeña algún papel misterioso. Y vemos la cuestión de la orientabilidad más directamente (como muestra la animación de la onda propagándose en dos direcciones). En cuanto a tu idea de que tiene que haber un agujero, es más bien que hay un agujero global. giro en el espacio, que hace que ciertos bucles tengan sus extremos tocándose, pero de forma "retorcida". No puedes encogerlo porque la torsión sigue ahí y acabará provocando un desgarro. Pero si se enrolla dos veces, la doble "torsión" se anula y se puede encoger.