Ejemplo de serie tal que es divergente $\sum a_n$ $\sum \frac{ a_n}{1+ n a_n}$ es convergente

Question

<blockquote> <p>Ejemplo de serie tal que es divergente $\sum a_n$ $\sum \frac{ a_n}{1+ n a_n}$ es convergente.</p> </blockquote> <p>Me dio un ejemplo en línea que $a_n =\frac {1}{n^2} $ n es término no cuadrado y $a_n =\frac {1}{\sqrt n} $ $n$ es término cuadrado. Yo sé que $\sum a_n$ término divergente pero no convience con convergencia de $ \sum \frac{ a_n}{1+ na_n}$. Cualquier ayuda será apreciada.</p>

Answer 1

La counterxample es correcta. Si $a_n =\frac {1}{n^2}$ cuando $n$ es término no cuadrado y $an =\frac {1}{\sqrt n} $ cuando n es término cuadrado, tenemos que $$\sum{n=1}^{\infty} an=\sum{\text{$n $ is not a square}} \frac{1}{n^2}+\sum{\text{$n $ is a square}} \frac{1}{\sqrt{n}}\geq \sum{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k^2}}=+\infty.$ $ uno el otro mano $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ a_n}{1+ n an}=\sum{\text{$n $ is not a square}} \frac{1}{n^2+ n}+\sum{\text{$n $ is a square}} \frac{1}{\sqrt{n}+ n}\\leq \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}+\sum{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+ k^2}\leq 2\sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

Answer 2

Delta-u y Robert Z, han mostrado cómo, para demostrar la convergencia de $\sum{a_n\over1+na_n}$ para el ejemplo de la OP estaba considerando. Otro ejemplo en la misma línea es

$$a_n=\casos{1\quad\text{si }n=2^m\text{ para algunos } m\in\mathbb{N}\\ 0\quad\text{en caso contrario}}$$

En este caso, la suma de $\sum a_n$ diverge porque $a_n$ no converge a $0$ (porque es infinitamente a menudo igual a $1$), mientras que

$$\sum_n{a_n\over1+na_n}=\sum_m{1\over1+2^m}\lt\sum_m{1\over2^m}=2$$

La idea clave en todos los ejemplos es tomar un divergentes de la serie (como $1+{1\over2}+{1\over3}+\cdots$, en el OP ejemplo, o, como aquí, $1+1+1+\cdots$) y espacio en sus términos más y más ampliamente aparte, con convergently cosas pequeñas (por ejemplo, $1+{1\over4}+{1\over9}+\cdots$ o, simplemente,$0+0+0+\cdots$) en el medio.

Answer 3

Sugerencia

Para mostrar que el $\sum \frac{ a_n}{1+ n \cdot a_n}$ es convergente aviso que (como los términos son positivos tal descomposición se permite): $$\sum \frac{ a_n}{1+ n \cdot an}=\sum{n \text{ non-square}} \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+n\frac{1}{n^2}}+\sum{m} \frac{\frac{1}{m}}{1+m^2\frac{1}{m}}=\sum{n \text{ non-square}} \frac{1}{n^2+n}+\sum_{m} \frac{1}{m+m^2}$ $

Answer 4

Solución un poco más fácil: dejar $S={m^2:m\in \mathbb N}.$definir $a_n = 1$ si $n\in S,$ $a_n = 0$ lo contrario. A continuación, $\sum a_n$ diverge, desde $a_n =1$ para infinitamente muchos $n,$ por lo tanto, $a_n\not \to 0.$ pero

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{1+nan} = \sum{m=1}^{\infty} \frac{1}{1+m^2\cdot 1} \le \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2}