Simple paseo aleatorio, demostrando una variación de la caminata en un tiempo de parada

Question

Así que el problema es que el $S_N$ es una caminata aleatoria simétrica y $T$ es un tiempo de parada limitada. Tengo que demostrar la variación $$\text{Var}\left(S_T\right) = \mathbb{E}\left(S_T^2\right) = \mathbb{E}(T)$ $ $\mathbb{E}$ Dónde está la expectativa. ¿Sé cómo mostrar que $$\text{Var}\left(S_T\right) = \mathbb{E}\left(S_T^2\right)$ $ pero no estoy seguro cómo mostrar que esto es igual a $\mathbb{E}(T)$?

¡Cualquier sugerencias o ayuda es muy apreciada!

Answer 1

SUGERENCIA : El paseo aleatorio proceso de $S$ se define de la siguiente manera : $$S_n=S_{n-1}+U_{n}$$ with $S_0=0$ and $U_n$'s IDD , $P(U_k=1)=P(U_k=-1)=0.5$. Denotamos $\mathcal{F}$ la filtración natural de $S$.

Deje $n>0$, se puede notar que debido a $U_n$ es independiente de $\mathcal{F_{n-1}}$, $S_{n-1}$ es $\mathcal{F_{n-1}}$medible, y $E(U_n)=0$, $S_n$ es una martingala :

$$E(S_n|\mathcal{F_{n-1}})=S_{n-1}+E(U_n|\mathcal{F_{n-1}})=S_{n-1}+E(U_n)=S_{n-1}$$

Por otra parte ,

$$E((S_n-S_{n-1})^2|\mathcal{F_{n-1}})=E(U_n^2|\mathcal{F_{n-1}})=E(U_n^2)=1$$

$$E((S_n-S_{n-1})^2|\mathcal{F_{n-1}})=E(S_n^2|\mathcal{F_{n-1}})-2S_{n-1}E(S_n|\mathcal{F_{n-1}})+S_{n-1}^2$$

Por lo tanto,

$$E(S_n^2|\mathcal{F_{n-1}})-1=S_{n-1}^2$$

o $$E(S_n^2-n|\mathcal{F_{n-1}})=S_{n-1}^2-(n-1)$$

Por lo tanto, $U_n$ se define a continuación es una martingala $$U_n=S_n^2-n$$

Dado que U es una martingala, y $T$ es un almacén de tiempo de parada , tenemos $$E(U_T)=U_0=0$$

o

$$E(S_T^2)=E(T)$$

Answer 2

Escriba $Sn = \sum{i=1}^{n} X_i$, donde $X_i$ son i.i.d. y $Xi \sim \frac{1}{2}(\delta{-1} + \delta_{1})$. Entonces para $k \geq 1$\begin{align} E[ST^2 \mid T =k] &= E\bigg[\bigg(\sum{i=1}^{T}Xi\bigg)^2 \ \bigg \vert \ T= k\bigg] = E\bigg[\sum{i=1}^{T}Xi^2 + \sum{i,j=1,\atop\ \ i \neq j}^{T}X_iXj \ \bigg \vert \ T= k\bigg] \ &= \sum{i=1}^{k}\underbrace{E[Xi^2]}{=1}+ \sum_{i,j=1,\atop\ \ i \neq j}^{k}\underbrace{E[Xi]}{=0}\underbrace{E[Xj]}{=0} = k, \end{align} así $ \sum_{\ell=1}^{\infty} \ell P(S_T^2 = \ell,T = k) = kP(T=k). Suma de $$ $k$ rinde $$ E [ST ^ 2] = \sum{\ell=1}^{\infty} \ell P(ST^2 = \ell) = \sum{k=1}^{\infty}kP(T=k) = E [T]. $$