¿Cómo podría usted demostrar que los espacios de $(\mathbb{R^2},\cal{T}_r)$ $(\mathbb{R}^2,\cal{T}_b)$ donde $\cal{T}_r$ es una topología generada por la selva del río de la métrica (aquí) y, equivalentemente, $\cal{T}_b$ es generado por el British Rail métrica (3.15 segundo), no son homeomórficos?
Traté de pensar en alguna primaria topológico de la propiedad, con la que puedo caracterizar sólo uno de esos espacios, pero parecen ser tan parecidas... Pero no homeomórficos. Por qué?
En el sistema ferroviario, existe un (único) punto tal que su complemento es la desunión de la unión de un número infinito conectado abrir sets.
No hay puntos de referencia que existe en la selva. En resumen: La "corriente principal" es como $\mathbb R$ con métrico estándar, por lo tanto, tiene en la mayoría de los dos componentes conectados después de la eliminación de un punto. Pero el correspondiente abrir conjuntos deben alcanzar en cada una de las verticales de los "brazos", que se parecen a $\mathbb R$. Para ver esto de forma más explícita: Para cualquier punto de $(x_0,y_0)$ los subconjuntos $\{\,(x,y)\mid x<x_0\,\}$, $\{\,(x,y)\mid x>x_0\,\}$, $\{\,(x_0,y)\mid y<y_0\,\}$, $\{\,(x_0,y)\mid y>y_0\,\}$ son aún ruta de acceso conectado (a lo largo de la obvia polilínea caminos que la métrica sugiere), por lo tanto $\mathbb R\setminus\{(x_0,y_0)\}$ tiene más de cuatro componentes conectados.
Eliminar el origen de la métrica de río nos da 4-componentes de trazado (el positivo $y$-eje, el negativo $y$-eje y el % de sistemas ${(x,y): x > 0}$y ${(x,y): x
Si Eliminamos un punto de la métrica del ferrocarril, entonces tampoco tenemos uncountably muchos componentes de la ruta (si eliminamos el origen), o 2 (para todos los otros puntos).
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