Serie de Poder Exponencial donde los poderes son primos

Question

Estoy buscando información con respecto a un par de funciones particulares:

1)$P(x)=\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{x^p}{p!}$

2)$Q(x)=\sum_{p\not\in\mathbb{P}}\frac{x^p}{p!}$ (suponiendo que$0, 1$ sean poderes incluidos en la serie ...)

3)$R(x)=\frac{1}{P(x)}$

4)$S(x)=\frac{1}{Q(x)}$

No sé si hay mucha literatura sobre esto, ya que no sé si se conocen, se desconocen o cómo se llaman.

Answer 1

tratando de relacionar $P(x) = \sum_{p \in \mathcal{P}} \frac{x^p}{p!}$ al logaritmo de la de Riemann zeta función, me sale :

$$P(x) = \sum_{p \in \mathcal{P}} \frac{x^p}{p!} = \frac{x}{(2 i \pi)^2}\int_{|u|=r} \frac{1}{(u-2x)(u-x)}\left( \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} (-\ln u)^{-s} \Gamma(s) \sum_{m=1}^\infty \frac{\mu(m)}{m} \ln \zeta(ms) ds\right) du$$ que espero que deben ser simplifiable.

vamos a : $$f(z) = \sum_{n=1}^\infty a_n z^n, \qquad\qquad g(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n!} z^n, \qquad \qquad F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$$

(aquí se $a_n = 1$ fib $n$ es primo, por lo tanto $F(s) = \sum_{m=1}^\infty \frac{\mu(m)}{m} \ln \zeta(ms)$)

por la integral de Cauchy fórmula, para cualquier $r < R$ el radio de convergencia de $f$ :

$$a_n = \frac{n!}{2 i \pi}\int_{|u|=r} \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}} du$$

por tanto, para cualquier $|z| < r/2$ : $$g(z) = \frac{1}{2 i \pi}\sum_{n=1}^\infty z^n \int_{|u|=r} \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}} du = \frac{1}{2 i \pi}\int_{|u|=r} f(u) \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{(u-z)^{n+1}} du$$ $$ =\frac{z}{2 i \pi}\int_{|u|=r} \frac{f(u)}{(u-2z)(u-z)} du$$

mientras que a partir de $n^{-s} \Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} e^{-nx} dx$ (que se extiende a $f(z)$ $[0,1[$ por la continuación analítica si es necesario) : $$\Gamma(s) F(s) = \int_0^\infty x^{s-1} f(e^{-x})dx$$

por lo tanto, por la inversa Mellin transformar : $$f(e^{-x}) = \frac{1}{2 i \pi}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} x^{-s} F(s) \Gamma(s) ds$$

y $$g(z) = \frac{z}{2 i \pi}\int_{|u|=r} \frac{f(u)}{(u-2z)(u-z)} du = \frac{z}{(2 i \pi)^2}\int_{|u|=r} \frac{1}{(u-2z)(u-z)}\left( \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} (-\ln u)^{-s} F(s) \Gamma(s) ds\right) du = \ldots$$

Answer 2

Desde el comentario de la cadena sobre la cuestión, el OP dice que algunas parcelas sería útil, aunque no puedo contestar a esta pregunta, esto es lo que puedo decir.

A pesar de encontrar una expresión analítica para estos parece una tarea monumental, la aproximación de ellos en los primeros términos o así que es bastante fácil. He evaluado cada una de estas sumas de dinero para $0\leq p\leq 41$, y se puede estimar su exactitud mediante la evaluación de las $err(x)=\left|e^x-\sum_{i=1}^{41} x^i/i!\right|$, y observando que si $|x|<4$, $err(x)$ es menor que $10^{-10}$, por lo que los gráficos siguientes puede ser juzgado como algo exacto.

Hay algunas características interesantes. Para uno, $P(x)$ $Q(x)$ tienen dos raíces. Estos son, en el $0$ y alrededor de $-2.301751$$P$, y acerca de la $-2.24203$$-1.05319$$Q$. También podemos ver en una parcela de $P$ $Q$ junto con $e^x$:

Tenga en cuenta que hay intersecciones entre el $P(x)$ $Q(x)$ aproximadamente $2.06337$, $-0.789488$, y $-2.27713$. Es claro en la trama que $P(x)+Q(x)=e^x$.