Que $k$ ser un campo. Sea $\bar k$ una clausura algebraica de $k$. Que $X$ ser un $k$-esquema de tipo finito. Supongamos que se separa $X\times_k \bar k$ $\bar k$. ¿Se separa $X$ $k$? ¿En caso afirmativo, ¿cómo demostrarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dori Bejleri
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Deje $\overline{X}$ denotar $X \times_k \bar{k}$. Luego de esta declaración es verdadera si $\overline{X} \to X$ es un cerrado y surjective de morfismos. Mi intuición me dice que esto es cierto porque las $X$ debe ser el cociente de $\overline{X}$ por el Galois de acción, pero no estoy seguro todavía. Voy a editar este post cuando me figura que fuera, pero asumiendo, entonces podemos probar esto de la siguiente manera. Usted puede verificar que el diagrama de
$$ \requieren{AMScd} \begin{CD} \overline{X} @>>> X \\ @VVV @VVV \\ \overline{X} \times_\bar{k} \overline{X} @>>> X \times_k X \end{CD} $$
es cartesiano donde la vertical morfismos son las diagonales y horizontales morfismos son los naturales inducidos por la ampliación de la base. La horizontal morfismos son cerrados y $\Delta_\overline{X}$ está cerrado por supuesto, y la parte superior de morfismos es surjective, por lo que la diagonal $\Delta_X$ debe estar cerrada.
