Encontrar los valores de $k$ tal que los vectores dados no abarcan $\mathbb{R}^3$

Question

Actualmente estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Encontrar el valor de la(s) $k$ de manera tal que los vectores $\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\}$ no abarcan $\mathbb{R}^3$, donde:

$$ a_1 = \begin{bmatrix}-1\\k\\7\end{bmatrix}, \quad a_2 = \begin{bmatrix}4\\-2\\5\end{bmatrix}, \quad a_3 = \begin{bmatrix}1\\-7\\2\end{bmatrix} $$

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Para intentar resolver esto, lo primero que traté de hacer a estos vectores en una matriz ampliada y trató de reducirlo:

$$ \begin{bmatrix} -1 & 4 & 1 \\ k & -2 & -7 \\ 7 & 5 & 2 \\ \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} -1 & 4 & 1 \\ k & -2 & -7 \\ 0 & 33 & 9 \\ \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 0 & -2 + 4k & -7 + k \\ 0 & 33 & 9 \\ \end{bmatrix} $$

A partir de aquí, pensé que tal vez lo que necesitaba hacer era agregar los elementos de la segunda fila, y el conjunto es igual a cero (a resolver por $-2 + 4k -7 + k = 0$) por lo que he podido encontrar los valores de $k$, mientras que la segunda fila es igual a cero y por lo tanto no podía abarcar $\mathbb{R}^3$. Luego me llegó a la solución de $k = \frac{9}{5}$, pero que no va a ser la respuesta.

Luego me preguntó si necesitaba de la cuenta para el 'variables' -- si la matriz puede ser expresado como $\vec{a}_1 x_1 + \vec{a}_2 x_2 + \vec{a}_3 x_3 = \vec{b}$, entonces tal vez necesito hacer $(-2 + 4k)x_2 + (-7 + k)x_3 = 0$. Si es así, entonces pensé que las soluciones podrían ser $k=\frac{2x_2+7x_3}{4x_2+x_3}$, pero que además no era la solución (y, en cualquier caso, creo que voy a esperar para proporcionar números reales, no es una fórmula).

Me puse a pensar en este problema, que está tratando de resolver una solución similar, excepto en $\mathbb{R}^2$. En esa publicado pregunta, es muy obvio que $h$ debe ser de cualquier valor y, a continuación,$3$, pero yo no estoy viendo obvio que los valores de $k$ en mi problema.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Cómo tratar este: establecer una matriz de $A$ a que las columnas $a_i$, $1 \le i \le 3$, y encontrar el valor de la(s) $k$ tal que $\det A = 0$; para tal $k$, las tres columnas linealmente dependiente y, por tanto, no puede abarcar $\Bbb R^3$. Así que nos tomamos

$A = \begin{bmatrix} -1 & 4 & 1 \\ k & -2 & -7 \\ 7 & 5 & 2 \end{bmatrix} \tag{1}$

y, a continuación, un sencillo cálculo muestra que

$\det A = -3k -221; \tag{2}$

configuración

$-3k - 221 = 0 \tag{3}$

revela precisamente un valor de $k$ tal que $\det A = 0$, es decir,

$k = -\dfrac{221}{3} = -73\dfrac{2}{3}. \tag{4}$

Desde mi método es generalmente el mismo que David Holden, pero mi aritmética es diferente, me ofrecen que me evaluada $\det A$ el uso de los "seis flechas" o técnica de Sarrus' regla para $3 \times 3$ matrices (ver aquí), la obtención de

$\det A = -4 -4(49) + 5k + 14 -35 -8k = -4(1 + 49) -3k - 21 = -3k -221. \tag{5}$

Espero que esto ayude! Saludos,

y como siempre,

Fiat Lux!!!

Answer 2

los vectores deben ser linealmente dependientes. la condición para esto es que el determinante de la matriz es cero. $$ det\begin{bmatrix} -1 & 4 & 1 \ k & -2 & -7 \ 7 & 5 & 2 \ \end{bmatrix} = 0 $$ un cálculo de la parte posterior de la envoltura sugiere $k=-\frac{190}3$ aunque mi aritmética está sujeta a errores aleatorios. sin embargo creo que el principio es sonido