¿Cómo tomar la segunda derivada usando la regla de cadena multi variable?

Question

Estoy trabajando en esta pregunta:

Ahora tengo la primera parte y se encontró $$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}\\ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}\\ \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y} = \left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^2-\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^2$$ como se requiere.

Sin embargo, estoy atascado en la segunda parte sé que $$\frac{\partial ^2F}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)$$, pero aquí es donde no estoy seguro de que es este:

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{\partial F}{\partial v}\right)=\frac{\partial F}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial F}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}$$

Sin embargo creo que esto podría ser malo?

Alguna ayuda?

Answer 1

$$ \ frac {\ partial} {\ partial x} \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial u} - \ frac {\ partial f} {\ partial v} \ right) = \ left (\ frac {\ partial} {\ partial u} + \ frac {\ partial} {\ partial v} \ right) \ frac {\ partial f} {\ partial u} - \ left (\ frac {\ partial} {\ partial u } + \ frac {\ partial} {\ partial v} \ right) \ frac {\ partial f} {\ partial v} = \ cdots $$