Expresar una cantidad como una distribución de Poisson compuesto

Question

Estoy dado de dos distribuciones de Poisson, $X_1$ y $X_2$ % parámetros $\lambda_1=1$y $\lambda_2=2$ respectivamente.

También dado que $Y = -3X_1$ + $2X_2$, ¿cómo represento $Y$ como una distribución de Poisson compuesta?

Sé que tengo que usar los métodos de convolución. Sin embargo, estoy totalmente perdido en este caso.

Answer 1

Asumo $X_1$ $X_2$ son independientes.

En primer lugar, aquí un poco de intuición: cuando llegue a un punto de llegada en el proceso de $X_1$ (tarifa 1), el valor de $Y$ va hacia abajo por 3. Cada vez que usted consigue un punto de llegada en el proceso de $X_2$ (tarifa 2), su valor sube por 2. Por lo tanto, se podría construir una fusión de proceso de poisson con tasa de 3, y para cada llegada obtenemos el valor de -3 con probabilidad 1/3 y el valor 2 con probabilidad 2/3. Nuestro valor total $Y$ es la suma de todos los premios recogidos en cada uno de poisson de la llegada.

Formalizar, si definimos $N\sim \text{Pois}(\lambda_1 + \lambda_2)$, $M_n\sim\left\{\begin{array}{ll} -3 & w.p.~\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2) \\ 2 & w.p.~\lambda_2/(\lambda_1+\lambda_2)\end{array}\right.$, a continuación,$Y\sim\sum_{n=1}^N M_n$, un compuesto de la distribución de poisson.

Para probar el resultado, tenga en cuenta que el número de veces que -3 es añadido a $Y$ $Y = -3X_1 + 2X_2$ se distribuye poisson con tasa de $\lambda_1$, y el número de veces 2 es agregado se distribuye poisson con tasa de $\lambda_2$, y las cuentas son independientes. Por las propiedades combinadas de poisson procesos, este es exactamente el caso con nuestra fusionada proceso de poisson.

Answer 2

Supongo que el $X_1$ y $X_2$ son independientes. El truco aquí es fijar bien $X_1$ o $X_2$ y calcular la distribución de los $-3X_1 + 2X_2$ dependiendo de ese valor primero. Esto es exactamente lo que hace una convolución, pero aquí se ve un poco más simple como podemos reemplazar integrales por sumas:

$$\eqalign{P[Y=y] &= P[-3X_1 + 2X2 = y] \ &= \sum{x \in \mathbb N_0} P[X_1 = x] P[-3X_1+2X_2 = y | X1 = x] \ &= \sum{x \in \mathbb N_0} P[X_1 = x] P[-3x+2X_2 = y]}$$

donde pueden calcular ambos factores y que simplificar la suma luego.