De fondo
Deje $M,N$ ser suave colectores, $\psi: M \rightarrow N$ $C^{\infty}$ $M_m, N_{\psi(m)}$ la tangente espacios en$m \in M$$\psi(m) \in N$. El diferencial de $\psi$ $m$ es el lineal mapa de $$d\psi: M_m\rightarrow N_{\psi(m)}$$ se define mediante el establecimiento de $$d\psi(v)(g)=v(g\circ\psi),$$ where $v \en M_m$ is a tangent vector and $g$ is $c^{\infty}$ in a neighborhood of $\psi(m)$.
El doble mapa $$\delta\psi:N^*_{\psi(m)} \rightarrow M^*_m$$ is defined by requiring that $$\delta \psi(\omega)(v)=\omega(d\psi(v))$$ whenever $\omega \N^*_{\psi(m)}$ and $v\en M_m$
Pregunta
Estoy teniendo algunos problemas para la comprensión de los siguientes:
En el caso especial de una $C^{\infty}$ función de $f:M\rightarrow \mathbb{R},$ si $v\in M_m$ $f(m)=r_0,$ $$df(v)=v(f)\frac{d}{dr}\bigg |_{r_0}.$$ In this case, we usually take $ df$ to mean the element of $M^*_m$ defined by $$df(v)=v(f).$$ That is, we identify $df$ with $\delta f(\omega)$, where $\omega$ is the basis of the $1$ dimensional space $\mathbb{R}^*_{r_0}$ dual to $(d/dr)|_{r_0}$
Mi Interpretación
Desde $df(v)$ es un vector tangente a $f(m)=r_0$ y desde $\frac{d}{dr}\bigg|_{r_0}$ es una base para el espacio de la tangente en $r_0$, debemos tener $$df(v)=a\frac{d}{dr}\bigg|_{r_0}.$$ Now, evaluating both sides at $r$ we obtain $$df(v)(r)=a.$$ Now $df(v)(r)=v(r \circ f)=v(f)$ así que tenemos el resultado deseado.
Siguiente, no estoy seguro de lo que el texto quiere decir cuando se afirma que $df(v)=v(f)$. Sólo nos mostró que $df(v)=v(f)\frac{d}{dr}\bigg |_{r_0}$. De hecho, no entiendo cómo a $df$ está asociado a $\delta f(\omega)$ (o el por qué de esta asociación, incluso de los asuntos). Es el texto que se acaba de tratar de decir que desde $df(v)$ mapas en los reales, es un funcional lineal en $M_m$?
Referencia
El texto que me refiero es Fundamentos de la Diferenciable Colectores y la Mentira Grupos por Frank W. Warner
