Probar$f'(x) = 2 f(x)$ si$f(x+y) = f(x) f(y)$,$f(x) \ne 0$ y$f'(0) = 2$.

Question

Voy a estado de la cuestión de mi libro de texto de abajo:

Una función de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisface la ecuación de $f(x+y) = f(x) f(y)$ todos los $x,y \in \mathbb{R}, f(x) \ne 0$. Supongamos que la función es diferenciable en a$x = 0$$f'(0) = 2$. Demostrar que $f'(x) = 2f(x)$.

En primer lugar, no entiendo la primera frase completamente. Qué significa que esta ecuación es verdadera siempre que $f(x) \ne 0$ o qué significa decir que el $f(x) \ne 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Si es esto último, a continuación, $f(y) \ne 0$ demasiado, ¿verdad?

Y luego me dirigí en muchas maneras diferentes para encontrar $f'(x)$. Traté de sustitución de $y$ $0$ en la ecuación dada y, a continuación, diferenciadas, en primer lugar diferenciado de la ecuación y, a continuación, sustituye $y$ $0$ e intentó un par de otras cosas. Ninguno de estos me tienes en cualquier lugar.

Aquí hay algo que me resultó mientras que tratando de resolver la pregunta:

Poner a $x,y = 0$ en la ecuación dada se tiene:

$f(0) = f(0) f(0) \implies f(0)[f(0) - 1] = 0$

Desde $f(x) \ne 0, \forall x \in \mathbb{R}$ (no estoy muy seguro de si esto es lo que significa la pregunta, digamos que lo hizo),

$f(0) - 1 =0 \implies f(0) = 1$

No sé si esto es incluso útil, pero no parece ser así, ya que también se han dado $f'(0) = 2$.

Por favor me ayudan a demostrar la necesaria ecuación. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Estoy seguro de que significa$f(x)\ne0$ para todos los$x$% reales.

Ahora $$ f '(x) = \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) -f (x)} h = \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x) f (h ) -f (x)} h = f (x) \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (h) -1} h $$ etc.

Answer 2

Con respecto a$x$ como fijo y diferenciando$f(x+y)=f(x)f(y)$ con respecto a$y$, obtenemos$$ f'(x+y) = f(x) f'(y). $ $ Insertar$y=0$ y usar$f'(0) = 2$ le da el resultado.

Answer 3

Por cierto, el reclamo sigue siendo cierto si nos interprete como

Una función de $f\colon\Bbb R\to \Bbb R$ satisface la ecuación de $f(x+y)=f(x)f(y)$ todos los $x,y\in\Bbb R$$f(x)≠0$. Supongamos que la función es diferenciable en a$x=0$$f′(0)=2$. Demostrar que $f′(x)=2f(x)$.

Prueba: Para $f'(0)$ a existir, $f$ debe ser continua en un barrio de $0$. Si $f(0)\ne0$, $f(x)\ne 0$ en un barrio de $0$. Y si $f(0)=0$, $f'(0)=2$ implica $f(x)\ne 0$ en un pinchazos barrio de $0$. Así que no existe, ciertamente, $r>0$ tal que $f(x)\ne 0$ todos los $x$$0<|x|<r$. Pero para ese $x$, obtenemos $f(0)=f(x+(-x))=f(x)f(-x)\ne0$, por lo que también se $f(0)\ne 0$. Asumir que no existe $x$$f(x)=0$. Deje $s=\inf\{\,|x|:f(x)=0\,\}$. A continuación,$s\ge r>0$. Para $s\le |x|<2s$, nos encontramos con $f(x/2)\ne0$ y, a continuación,$f(x)=f(x/2)^2\ne0$, contradiciendo la definición de $s$. Llegamos a la conclusión de que $f(x)\ne 0$ todos los $x$, por lo tanto en el hecho de $f(x+y)=f(x)f(y)$ para todos los verdaderos $x,y$. Con esto, $$f'(y)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x+y)\mid_{x=0}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x)f(y))|_{x=0}=f'(0)f(y)=2f(y).$$