Sobre la definición de funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

Question

La pregunta es la siguiente: ¿cuáles son las razones principales para definir el seno, coseno, etc., de un ángulo, en términos del triángulo rectángulo y no, por ejemplo, en términos de un triángulo obtuso?

1) ¿Es el teorema de Pitágoras una buena razón para utilizar un triángulo rectángulo? ¿Por qué? Además, ¿es cierto que las razones de los lados de un triángulo son siempre funciones del ángulo, o esto solo es cierto en los triángulos rectángulos?

2) Además, creo que, si definimos las funciones trigonométricas en términos de razones de los lados, necesitamos el triángulo rectángulo, porque es el único triángulo en el que sus lados pueden ser localizados. Por ejemplo, si tenemos un triángulo obtuso o agudo, no podemos determinar cuál es el lado adyacente al ángulo $A$, porque hay dos lados que satisfacen esa propiedad, pero en el triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre es más grande y, por lo tanto, claramente distinguible del lado adyacente al ángulo $A$. ¿Es esta una buena razón para preferir los triángulos rectángulos para definir las razones trigonométricas?

Además, cada triángulo se puede descomponer en dos triángulos rectángulos. ¿Es esta también una buena razón para preferir los triángulos rectángulos, o también se puede descomponer cualquier triángulo en un triángulo obtuso?

Answer 1

Dado un ángulo agudo $\alpha$, hay infinitos triángulos agudos y obtusos que tienen a $\alpha$ como uno de sus ángulos, incluso hasta similitud. Por el contrario, hay solo uno triángulo rectángulo, hasta similitud, que tiene a $\alpha$ como uno de sus ángulos.

Esto es válido cuando el ángulo $\alpha$ es agudo: el triángulo rectángulo es el obvio.

¿Cómo podemos hacer para ángulos obtusos? Intentamos y generalizamos.

Si observamos la ley del seno para ángulos agudos, resulta fácil de extenderla también a triángulos obtusos definiendo $$ \sin\beta=\sin(\pi-\beta) $$ si $\beta$ es obtuso.

Para el coseno, podemos usar la ley del coseno. Sea $ABC$ un triángulo con el ángulo $\beta$ en $B$ obtuso. Dibujemos la altura desde $A$ relativa a $BC$, llamando $H$ a su pie (que es externo al triángulo). Ahora tenemos dos triángulos rectángulos: $AHC$ y $AHB$. Si $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$, $AH=h$ y $HB=d$, podemos decir $$ c^2=h^2+d^2,\qquad b^2=h^2+(d+a)^2 $$ así, eliminando $h$, $$ b^2=c^2-d^2+(d+a)^2=a^2+c^2+2ad $$ Por la definición de coseno, $d=c\cos(\pi-\beta)$, así que $$ b^2=a^2+c^2+2ac\cos(\pi-\beta) $$ y es natural definir $\cos\beta=-\cos(\pi-\beta)$, así que la relación se convierte en $$ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta $$ que es exactamente la misma que la ley del coseno para triángulos agudos.

La ley de los cosenos aplicada formalmente cuando el ángulo $\beta$ es recto nos fuerza a definir $\cos(\pi/2)=0$. La ley de los senos, en cambio, nos da $\sin(\pi/2)=1$.

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Hoy en día, el seno y el coseno están mejor definidos con el círculo trigonométrico, lo que evita tales consideraciones geométricas que solo permiten definir el seno y el coseno para ángulos en el rango $[0,\pi]$: con el círculo trigonométrico es fácil definir el seno y el coseno para cualquier ángulo, incluso fuera de $[0,2\pi]$.

También es posible definir el seno y el coseno sin recurrir a la geometría, usando sus series de Taylor.

Answer 2

Creo que la razón principal de esa definición se debe al hecho de que el seno y el coseno de un ángulo se definen, en general, mediante el círculo unitario, es decir, el círculo de radio uno centrado en el origen $O(0,0)$.

Si tomamos el círculo unitario, un radio forma un ángulo $\alpha$ con respecto al eje $x$ positivo e interseca el círculo en un punto $P$ con coordenadas $(x_P,y_P)$. Podemos definir el seno y el coseno del ángulo $\alpha$ como las coordenadas del punto $P$: $x_P\equiv \cos\alpha$, $y_P\equiv\sin\alpha. Es obvio que el triángulo $\triangle OPH$ es un triángulo rectángulo (donde $H$ es el punto de intersección entre la altura $PH$ y el eje $x$).

Entonces puedes usar esta definición en cualquier triángulo rectángulo $\triangle OP'H'$ similar a $\triangle OPH$, por lo tanto para el coseno tenemos: $OH:OP=OH':OP'\longrightarrow x_P:1=x_{P'}:OP'\longrightarrow \cos\alpha=x_P={x_{P'}\over OP'}$, que es la "definición geométrica" del coseno; similarmente para el seno.

A partir de esta definición obtenemos la "famosa" identidad trigonométrica simplemente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo $\triangle OPH$:

$$x_P^2+y_P^2=1\longrightarrow \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$$