Desigualdad de la norma p para la función máxima de Hardy-Littlewood

Question

Tengo una pregunta que deja $1<p<\infty$ y f $\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ . Quiero demostrar que $\|Mf\|_{p}\leq2(3^{n}p')^{\frac{1}{p}}\|f\|_{p}$ mientras que p' viene dado por $\frac{1}{p'}+\frac{1}{p}=1$

La pregunta tiene una pista que utiliza $\|Mf\|^{p}_{p}=p\int^{\infty}_{0}\lambda(\{x|Mf(x)>t\})t^{p-1}dt$

Lo he intentado durante varias horas pero la integración siempre me parece divergente. ¡Cualquier sugerencia o pista sería apreciada!

$\lambda(x)$ es la medida de Lebesgue y $Mf(x)$ es la función máxima de Hardy-Littlewood

Aquí está mi esfuerzo:

\begin {align*} |Mf\|^{p}_{p}&=p \int ^{ \infty }_{0} \lambda (\{x|Mf(x)>t\})t^{p-1}dt \\ & \leq p \int ^{ \infty }_{0} \frac {2 \cdot3 ^{n}}{t} \int_ {{{f(x)|>} \frac {t}{2}}|f(x)|dx\a t^{p-1}dt \\ &=p \cdot2\cdot3 ^{n} \int ^{ \infty }_{0} \int_ {{{f(x)|>} \frac {t}{2}}|f(x)||t^{p-2}dx\ dt \\ \end {align*}

No estoy seguro de cómo proceder. Muchas gracias de nuevo.

Answer 1

Empecemos por cambiar el orden de integración:

\begin {align*} |Mf\|_p^p & \le p \cdot (2 \cdot 3^n) \int_ { \mathbb {R}^n} \int_0 ^{2|f(x)|} |f(x)| t^{p - 2} \N, dt \N, dx \\ &= p \cdot (2 \cdot 3^n) \int_ { \mathbb {R}^n}|f(x)| \cdot \frac {(2|f(x)|)^{p - 1} {p - 1} \N -, dx \\ &= \frac {p}{p - 1} 2^p 3^n \int_ { \mathbb {R}^n} |f(x)|^p \N, dx \\ &= 2^p \cdot \left ( \frac {1}{1-1/p} \cdot 3^n \right ) |f\|_p^p \\ &= 2^p \cdot (3^n p') ||f\|_p^p \end {align*}

que es el resultado deseado.

Answer 2

No estoy seguro de cómo hacerlo de forma elemental, pero la prueba se puede encontrar en muchos libros de análisis armónico, por ejemplo, Análisis clásico de Fourier , Loukas Grafakos:

Primero tenemos que demostrar que el operador maximal es de tipo débil $(1,1)$ .

Además, mapea $L^{\infty}$ a $L^{\infty}$ con norma $1$ entonces, por el Teorema de Interpolación de Marcinkiewicz, mapea $L^{p}$ a $L^{p}$ con la norma requerida.

La norma no es en absoluto la mejor.