La región de Convergencia de Laurent de Expansión

Question

Encontrar el Laurent expansión de $\frac{z}{(z+1)(z+2)}$ sobre la singularidad $z=-2$. Especificar la región de convergencia y de la naturaleza de la singularidad en $z = -2$.

Los de Laurent de expansión que se obtiene es

$1+(z+2)+(z+2)^2+ \ldots + \frac{2}{z+2}$

La singularidad es un simple polo.

Pero ¿cómo encontrar a la Región de Convergencia.

Answer 1

Los de Laurent de la serie se puede obtener como

$$\frac{z}{(z+1)(z+2)} = \frac{1}{z+2}\frac{z+2 - 2}{z+2 - 1} \\ = \left(\frac{2}{z+2} - 1\right)\frac{1}{1 - (z+2)} \\ = \left(\frac{2}{z+2} - 1\right)\sum_{n=0}^\infty (z+2)^n$$

y la serie geométrica en la RHS converge al $|z+2| < 1$.

Answer 2

La función \begin{align*} f(z)&=\frac{z}{(z+1)(z+2)}\\ &=\frac{2}{z+2}-\frac{1}{z+1}\\ \end{align*} es expandirse en todo el centro de la $z=-2$. Ya no son simples postes en $z=-1$ $z=-2$ tenemos que distinguir dos regiones de convergencia \begin{align*} D_1:&\quad 0<|z+2|<1\\ D_2:&\quad |z+2|>1 \end{align*}

• La primera región $D_1$ es un pinchazo en un disco con centro de $z=-2$, radio $1$ y el polo $-1$ en el límite de la disco.

  En el interior tenemos una representación de las fracciones con la pole en $z=-2$ como parte principal de una de la serie de Laurent en $z=-2$, mientras que la fracción con la pole en $z=-1$ admite una representación como la potencia de la serie.

• La otra región $D_2$ que contiene todos los puntos fuera de la clausura de $D_1$ admite para todas las fracciones de una representación como parte principal de una de la serie de Laurent en $z=-2$.

La expansión en $D_1$: \begin{align*} f(z)&=\frac{1}{1-(z+2)}+\frac{2}{z+2}\\ &=\frac{2}{z+2}+\sum_{n=0}^\infty(z+2)^n \end{align*}

La expansión en $D_2$:

\begin{align*} f(z)&=\frac{1}{1-(z+2)}+\frac{2}{z+2}\\ &=-\frac{1}{z+2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z+2}}+\frac{2}{z+2}\\ &=-\frac{1}{z+2}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(z+2)^n}+\frac{2}{z+2}\\ &=-\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(z+2)^n}+\frac{1}{z+2} \end{align*}

Answer 3

Considere la posibilidad de la expansión en series de Taylor de $\frac{z}{(z+1)(z+2)}-\frac{2}{z+2}=\frac{-1}{z+1}$. Su radio de convergencia en torno a $z=-2$, y por lo tanto el radio de convergencia de su Laurent de la serie, es simplemente la distancia de $-2$ a los más cercanos que no diferenciable punto, es decir $z=-1$.

De modo que el radio de convergencia es 1.