¿La álgebra sigma más pequeña en la que la diferencia de funciones medibles es medible?

Question

Supongamos que $f,g$ son $\mathcal{A},\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ medible. Entonces sabemos por el teorema habitual que $f-g$ también es $\mathcal{A},\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ medible. Pero ¿cuál es la sigma-álgebra más pequeña $\mathcal{A}$ en la que el $f-g$ ¿es medible?

Motivación: Esta pregunta surge de la lectura en el libro de un ejemplo de variable aleatoria $Y_n:=X_{2n}-X_{2n-1}$ . El autor afirma que $Y_n$ es $\sigma(X_{2n},X_{2n-1}),\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ medible. Y me pregunté por qué...

También tengo otra pregunta, relacionada con esto. ¿Es $(f-g)^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \subset \sigma\{f^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))\cup g^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n))\}$ ?

Answer 1

Bueno, depende. Por ejemplo, considere $f,g : (\mathbb{R},\mathcal{B}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B})$ , $f(x) = x+1$ y $g(x) = x$ . $f(x) - g(x)=1$ que es medible con respecto a cualquier $\sigma$ -Álgebra, en particular, puede tomar $F = \{\emptyset, \mathbb{R}\}$ .