¿Por qué es $e^{x}$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ ?

Question

Parece intuitivamente muy claro que $e^{x}$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ . Estoy buscando "probarlo" usando $\epsilon$ - $\delta$ pero el análisis. Razono de la siguiente manera:

Supongamos que $\epsilon > 0$ de hecho, arreglarlo para que sea $\epsilon=1$ .

Por contradicción, supongamos que $\exists \delta >0$ s.t. $$ (\star) \ |x-y|<\delta \Rightarrow |e^{x}-e^{y}|<\epsilon=1 \text{ for } x,y \in \mathbb{R}.$$ Tenga en cuenta que $e^{x+\delta}-e^{x}=e^{x}(e^{\delta}-1)$ . Así, para $x$ lo suficientemente grande (para que el RHS $>1$ ), la relación $(\star)$ no se sostiene.

Esta es nuestra contradicción, por lo que la función exponencial no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ .

¿Es este razonamiento correcto y suficiente?

Gracias.

Answer 1

Si realmente se busca una respuesta rigurosa, entonces hay que justificar el "Entonces, por $x$ suficientemente grande...".

Por ejemplo, aquí hay una solución muy rigurosa en la línea que usted sugiere:

Supongamos que $e^x$ es uniformemente continua en $\mathbb {R}$ . Dejemos que $\epsilon = 1$ . Por lo tanto, hay $\delta >0$ tal que para todo $x,y\in \mathbb R$ si $|x-y|<\delta $ entonces $|e^x-e^y| < 1$ . Dejemos que $a=\delta/2$ . Desde $\lim_{x\to\infty }e^x=\infty$ y como $e^a-1>0$ se deduce que $\lim_{x\to \infty }e^x(e^a-1)=\infty$ . Por lo tanto, hay un poco de $x\in \mathbb {R}$ tal que $e^x(e^a-1)>1$ . Sin embargo, al tomar $y=x+a$ tenemos $|x-y|<\delta$ mientras que $|e^x-e^y|=e^x(e^a-1)>1$ una contradicción.

Answer 2

Su prueba me parece buena. Sólo hay algunos tecnicismos:

1. Deberías considerar un $\delta>0$ porque el contrapositivo de $$\forall \epsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall|x-y|<\delta,\ |f(x)-f(y)|<\epsilon$$ es $$\exists \epsilon>0,\ \forall\delta>0,\ \exists|x-y|<\delta,\ |f(x)-f(y)|\ge\epsilon.$$
2. Deberías considerar algo como $e^{x+\delta/2}-e^x$ en lugar de $e^{x+\delta}-e^x$ porque $|(x+\delta)-x|$ no es menor que $\delta$ .
3. Como Clayton señaló en la sección de comentarios, si usted afirma que $(\star)$ no se mantiene cuando $x$ es lo suficientemente grande, es mejor escribir explícitamente una instancia de $x$ .

Answer 3

Otra forma de demostrar que $e^{x}$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ utilizando un $\varepsilon$ - $\delta$ argumento es considerar una consecuencia bastante rígida de esta clase de funciones mediante el siguiente resultado:

Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es uniformemente continua entonces existen constantes $A, B >0$ tal que $|f(x)|< A|x| +B$ $ \forall x \in \mathbb{R}$

Prueba: Toma $\varepsilon =1$ en la definición de continuidad uniforme para que exista un $\delta >0$ de manera que si $x, y \in \mathbb{R}$ satisfacer $|x-y|< \delta $ entonces $|f(x)-f(y)|< 1.$ En particular, el establecimiento de $y=0$ y utilizando la desigualdad del triángulo, obtenemos que $|x|< \delta \Rightarrow |f(x)|< |f(0)|+1 < |f(0)|+1 + |x| = A_{1}|x| + B_{1}$ , donde $A_{1}=1$ y $B_{1}= |f(0)|+1.$

Supongamos ahora que $|x| \geq \delta$ y WLOG permiten $x >0$ (el caso de $x<0$ utiliza un argumento similar). Establecer $n = \lfloor \frac{2x}{\delta}\rfloor$ para que $0 \leq x - \frac{n\delta}{2} \leq \frac{\delta}{2}.$ Desde $0,$ entonces nos acercamos a $x$ en $n$ pasos de $\frac{\delta}{2}$ y utilizar la continuidad uniforme en los intervalos $(\frac{i\delta}{2}, \frac{(i+1)\delta}{2})$ de la siguiente manera:

$\begin{align}|f(x)-f(0)|&\leq \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\left|f\left(\frac{i\delta}{2}\right)- f\left(\frac{(i+1)\delta}{2}\right)\right|+ \left|f\left(\frac{n \delta}{2}\right)- f(x)\right| \\&\leq n+1\\&= \frac{2x}{\delta} +1\end{align}$

$\Rightarrow |f(x)|< |f(0)|+1+\frac{2x}{\delta}$

Repitiendo este argumento para el $x\leq -\delta$ caso y escenario $A= \max\{A_{1}, \frac{\delta}{2}\}$ y $B = B_{1}$ La prueba está completa.

Utilizando este resultado, podemos ver inmediatamente que $f(x)= e^x$ no es uniformemente continua, de lo contrario tendríamos $e^x < A|x| +B$ que es una contradicción obvia para los grandes $x.$ Este argumento también muestra que los polinomios no lineales y otras funciones de crecimiento rápido como $\tan(x)$ no son uniformemente continuas en $\mathbb{R}.$

Answer 4

Por el contrario, supongamos que $e^{x}$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ . Así que por

def, dado $\epsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ , de tal manera que $|e^{x}-e^{y}| < \epsilon$ siempre que $|x-y| < \delta$ .

Ahora dejemos que $x=n+\frac{\delta}{2}$ y $y=n$ , claramente x e y están lo suficientemente cerca como para que,

$|e^{x}-e^{y}| < \epsilon$

por el teorema del valor medio tenemos,

$e^{\zeta}.|x-y|=|e^{x}-e^{y}| < \epsilon$ , donde $y < \zeta < x$

como $e^{x}$ es una función creciente debemos tener $e^{n} = e^{y} < e^{\zeta}$ Por lo tanto

$e^{n} . \frac{\delta}{2} < e^{\zeta}|x-y| =|e^{x}-e^{y}| < \epsilon$

$e^{n}<\frac{2.\epsilon}{\delta}$ , lo cual es una contradicción ya que $e^{n}$ tiende a infinito cuando n tiende.