Estabilidad de la continuación analítica

Question

Sea $f(z)$ sea una función analítica en un conjunto abierto $U\subset\Bbb{C}$ . Recordemos que un continuación analítica de $f$ es un par $(F,V)$ tal que $U\subset V\subset\Bbb{C}$ , $F$ es analítica en $V$ y $F(z)=f(z)$ para todos $z\in U$ .

Mi pregunta es, ¿cómo estable ¿es este proceso? Si $\|f-g\|$ es pequeño, ¿estamos garantizados $\|F-G\|$ ¿pequeño en un sentido razonable? Si no es así, ¿hay contraejemplos fáciles? Si la respuesta depende de la elección de la norma, también me parecería interesante.

Se aceptan referencias en lugar de argumentos obvios. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $f_n$ es una sucesión de funciones analíticas que convergen a $f$ en $U$ digamos, uniformemente. Sea $(F,V)$ sea una continuación analítica de $(f,U)$ y $(F_n, V_n)$ son continuaciones analíticas de $(f_n,U)$ de modo que los dominios $V_n$ convergen a $V$ en el sentido Caratheodory. Entonces las funciones $F_n|V$ convergen a $F$ uniformemente en los compactos.

Answer 2

No es una respuesta rigurosa, pero creo que la respuesta es probablemente no.

Mira las funciones

$$f(z) = z + z^2 + z^4 + z^8 + \cdots + z^{32}$$ y $$g(z) = z + z^2 + z^4 + z^8 + z^{16} + z^{32} + \cdots$$

dentro del conjunto abierto $|z| < 1/2$ .

Dependiendo de su definición de norma, sospecho que éstas estarían "cerca", pero si las continúa analíticamente hasta algo como el disco unitario, no estarán cerca ni mucho menos, ya que $f$ es un polinomio que se comporta bien, pero $g$ se comportará muy mal en el círculo unitario, como demuestran los resultados citado en la segunda parte de mi respuesta aquí .