Supongamos que $f(x)\in L^1(0,1)$, probar que $g(x) = \frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{log(t)}dt$ $L^1(0,1)$
Tienen dificultades para saber dónde empezar...
Supongamos que $f(x)\in L^1(0,1)$, probar que $g(x) = \frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{log(t)}dt$ $L^1(0,1)$
Tienen dificultades para saber dónde empezar...
Primero, $$ g(x)=\int{0}^{1}\frac{f(xu)}{\log x +\log u}\,du =\int{0}^{1}\frac{f}{\log}(xu)\,du.\tag{1}$ $ para cualquier $t\in(0,1)$, que $\mu(t)$ ser la longitud de la curva cuyo apoyo se da por: $$ {(x,u)\in(0,1)^2:xu=t}.\tag{2} $ $ para probar que $g\in L^1(0,1)$, que sólo necesita demostrar que limita $$ w(t)=\frac{\mu(t)}{\left|\,\log t\,\right|} \tag{3}$ $ $(0,1)$. Desde: $$\mu(t)=\int{t}^{1}\sqrt{1+\frac{t^2}{x^2}}\,dx\leq\int{t}^{1}\left(1+\frac{t}{x}\right)\,dx = t-1+t\log t\tag{4}$ $ sigue que $w(t)\leq 2$, por lo tanto:
$$ |g|{L^1}\leq 2\cdot|f|{L^1}.\tag{5} $$
Una vez que sabemos que $g\in L^1$, nos permite cambiar el orden de integración, y Teorema de Fubini da $|g|{L^1}=|f|{L^1}$ como se muestra en las otras respuestas.
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