Coproducto Iterado en una Categoría Monoidal; encontrando la unidad de un monoide

Question

Supongamos $B$ es una categoría monoidal y, además, que los functors $-\bigotimes a:B\rightarrow B$ $a\bigotimes -:B\rightarrow B$ preservar co-productos. La hemos $\theta :\coprod _{b} a\bigotimes b_{n}\cong a\bigotimes \coprod _{n}b_{n}$, de forma natural en $a$, y lo mismo para las otras functor.

Si se aplican estos isomorphisms dos veces, obtenemos

$\coprod _{m} a^{m}\bigotimes \coprod _{n} a^{n}\cong \coprod _{m}\left ( a^{m} \bigotimes \coprod _{n} a^{n}\right )\cong \coprod_{m} \left ( \coprod_{n} \left ( a^{m}\bigotimes a^{n} \right ) \right )$.

En realidad el último isomorfismo $\coprod _{m} \theta $, ¿no ? Después de todo, $\coprod $ es sólo un tipo especial de límite functor. Quiero encontrar una explícita isomorfismo entre el último subproducto y $\coprod _{n,m} a^{m}\bigotimes a^{n}$.

Necesito esto para probar que $\eta _{a}$, la unidad de la monoid $\coprod _{n} a^{n}$ está dado por la inyección de $i_{0}:e\rightarrow \coprod _{n} a^{n}$. He a $\mu $ y estoy tratando de mostrar que $\mu \circ (\eta \bigotimes 1)=\lambda $. Todo esto funciona muy fácilmente en $Set$, pero estoy teniendo problemas con el caso general.

Answer 1

Así que nos tomamos $\eta:e\to\coprod_n a^n$ a ser la inclusión de $e=a^0$ en el subproducto. Queremos mostrar que $\mu(\eta\otimes1)=\lambda:e\otimes\coprod_n a^n\to\coprod_n a^n$. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo

$$ \begin{matrix} & & e⊗∐_n a^n & → & ∐_m a^m⊗∐_n a^n & → & ∐_{m,n}a^m⊗a^n & → & ∐_k a^k \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow \\ e⊗a^n &\hookrightarrow & ∐_n e⊗a^n &→&∐_n(∐_m a^m)⊗a^n &→&∐_n∐_m(a^m⊗a^n) \end{de la matriz} $$

La flecha que nos interesa es la parte superior del camino de $\mu(\eta⊗1)$. Te recomiendo que lo componen con la flecha $1_e⊗i_n:e⊗a^n\to e⊗\coprod_n a^n$ y tratamos de demostrar que esto es sólo $\lambda(1_e⊗i_n)$. Regresar si usted se enfrentan a problemas.

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Aquí está la solución: composición de la fila superior con $1_e⊗i_n:e⊗a^n→e⊗∐_na^n$ da la fila inferior aumentada por el mapa $∐_n∐_m(a^m⊗a^n)→∐_k a^k$. Los dos primeros mapas de la fila inferior componer el mapa,$\eta⊗1_{a^n}$. Compuesto con el tercer mapa, esto da $i_n\circ i_0:a^0⊗a^n \to ∐_m(a^m⊗a^n) \to ∐_n∐_m(a^m⊗a^n)$, lo que, a continuación, compuesta con el alza de flecha rendimientos $i_{0,n}$. Componiendo con la última flecha produce el mapa de $i_n\circ\lambda$, que por connaturalidad de $\lambda$ es lo mismo que $\lambda(1_e⊗i_n)$.