Prueba de la prueba de la comparación del límite

Question

Tuvimos el siguiente teorema en clase:

Que $(a_n)$ $(b_n)$ ser secuencias y $bn>0$ y $\lim{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ $L\in\mathbb R\backslash{0}$. Entonces $\sum a_n$ converge si y solamente si converge $\sum b_n$.

Tan por Recapitulando la lección he intentado probarlo pero no lo consigo. Es obvio que tienes que usar la prueba de comparación, pero ¿cómo? ¿Puede alguien ayudar? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Sugerencia: Supongamos que $L\gt 0$ (un argumento similar se ocupará de $L\lt 0$).

Porque $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$, hay un $N$ tal eso si $n\gt N$ y $$\frac{L}{2}\lt \frac{a_n}{b_n}\lt \frac{3L}{2}.$ $ la desigualdad anterior se desprende la definición de límite tomando $\epsilon=\frac{L}{2}$.

Ahora, como era de esperar, comparación hace.