Encontrar la ecuación de movimiento del potencial anharmónico

Question

Si tengo un potencial dado por: $$U=U_0\left[2\left(\frac xa\right)^2-\left(\frac xa\right)^4\right]$$ Dice que en $t=0$ la partícula está en el origen ( $x=0$ ) y la velocidad es positiva e igual a la velocidad de escape, que he encontrado que es $\sqrt {2U_0/m}$ Tengo la ecuación diferencial: $$m\ddot x=-\nabla U=-U_0\left[\frac {4x}{a^2}-\frac {4x^3}{a^4}\right]$$ EDITAR::

Así que tengo la inicial $(x,\dot x)$ . Ahora para encontrar $x(t)$ utilizo la conservación de la energía.

$$E=K+U=\frac 12mv^2+U_0\left[2\left(\frac xa\right)^2-\left(\frac xa\right)^4\right]$$ La energía del sistema es $U_0$ así que puedo cambiar la ecuación anterior a: $$U_0=\frac 12 m \left (\frac {dx}{dt}\right)^2+U_0\left[2\left(\frac xa\right)^2-\left(\frac xa\right)^4\right]$$ $$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2=\frac 2m U_0\left[1-2\left( \frac xa \right)^2+\left( \frac xa\right)^4 \right]$$

He comprobado que el valor entre paréntesis se reduce a $\frac{1}{a^2} (x^2-a^2)^2$

Así que: $$\frac {dx}{dt}=\sqrt{\frac{2U_0}{m}} \frac {x^2-a^2}{a^2}$$ Así que quiero $$\int^{x}_{x_0} \frac{dx}{x^2-a^2}=\int^t_0 \sqrt{\frac {2U_0}{m}}\frac{dt}{a^2}$$ Esto termina siendo una función arctan hiperbólica, que potencialmente podría tener sentido, pero ¿estoy yendo en la dirección correcta?

Answer 1

Así es como se resuelve un sistema mientras que el acelerón $a(x)$ es una función de la posición.

$$ a(x) = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} v $$

$$ \int a(x)\,{\rm d} x = \int u\,{\rm d}u + K $$

Dada la condición inicial $(x_0, v_0)$ lo anterior es

$$ \int_{x_0}^x a(x)\,{\rm d} x = \frac{1}{2} \left( v^2 - v_0^2 \right) $$

que se resuelve para $v(x)$ si es posible.

Entonces, para obtener la hora puedes utilizar $t=\int \frac{1}{v(x)}\,{\rm d}x$ o $t=\int \frac{1}{a(x(v))}\,{\rm d}v$

En tu caso la primera integral es

$$\frac{1}{2} v^2 - \frac{1}{2} v_0^2 = \frac{U_0}{m} \, \frac{(a^2-x^2)^2 - (a^2-x_0^2)^2}{a^4} $$

Answer 2

Tengo dos sugerencias:

1. Se puede resolver numéricamente con MATLAB utilizando comandos de la familia "ode".

2. Echa un vistazo a un libro llamado "Handbook of exact solutions for ordinary differential equations" si tienes acceso a él. Creo que allí encontrarás ayuda para obtener una solución analítica para tu problema.

Answer 3

Sí, estás en el camino correcto, la solución es :

$$x = a ~ th(\sqrt{\frac{2U_0}{m}}\frac{t}{a})\tag{1}$$

La velocidad es :

$$ \dot x = \sqrt{\frac{2U_0}{m}} (1 - th^2(\sqrt{\frac{2U_0}{m}}\frac{t}{a}))\tag{2}$$

En $t$ = 0, se tiene $x(0) = 0$ y $\dot x(0) =\sqrt{\frac{2U_0}{m}}$ como se desea.