Momento de inercia para un polígono regular de n lados

Question

Es tan simple como el título. Tenemos un área $A_n$ de un polígono homogéneo de n lados con la densidad de $\rho$ . Con su centro en $(0,0)$ y uno de sus puntos en $(a,0)$ , $a>0$ .

Calcule $I_n$ alrededor de su $z$ -eje a través de la zona $A_n$ de la masa. $\iint_ {A_n} dm$ y expresarlo con respecto a $n$ y $a$ .

Obviamente $I_n= \frac { \iint_ {A_n} r^2dm}{ \iint_ {A_n}dm}$

Así que puedo usar la simetría del problema para llegar a

$A_n=4n \int_0 ^{ \frac { \pi }{n}}d \phi\int \rho rdr$

Pero aquí también es donde me quedo atascado. ¿Cómo establezco los límites de la integral (no estoy seguro de que se traduzca correctamente al inglés) para la segunda integral?

Probablemente una simple cosa que una larga caminata y el sueño curaría pero actualmente estoy atascado.

Answer 1

Considere uno de los $2n$ triángulos rectos que forman el $n$ -polígono regular de circunradio $a$ : $$T_n:=\{(x,y):,0\leq x \leq a\cos(\pi/n), 0\leq y\leq \tan(\pi/n)x\}.$$ Por lo tanto, el momento de inercia con respecto a $z$ -eje de la $n$ -polígono regular es \begin {align*} I_n&=2n \delta\int_ {x=0}^{a \cos ( \pi /n)} \int_ {y=0}^{ \tan ( \pi /n)x}(x^2+y^2) dydx \\ &= \frac {2M}{a^2 \sin ( \pi /n) \cos ( \pi /n)} \int_ { \theta =0}^{ \pi /n} \int_ { \rho =0}^{a \cos ( \pi /n)/ \cos ( \theta )} \rho ^2 \cdot \rho d \rho d \theta\\ &= \cdots = \frac {Ma^2}{6} \left (1+2 \cos ^2( \pi /n) \right ) \end {align*} donde $M$ es la masa del polígono.

P.D. Tenga en cuenta que $\lim_{n\to\infty}I_n=\frac{Ma^2}{2}$ que es el momento de inercia de un disco homogéneo.

P.P.S. Si $l$ es el lado del $n$ -polígono regular entonces $l=2a\sin(\pi/n)$ y $$I_n=\frac{Ml^2}{24}\left(1+3\cot^2(\pi/n)\right).$$