Estoy siguiendo un curso de análisis real y mi profesor, mientras demuestra la continuidad de la traslación de funciones en $L^p$ , utilizó el teorema de convergencia dominada (DCT) de una manera extraña. Escribo la primera mitad de la prueba, para ser claro.
Dado $f \in L^p(E)$ con $E$ medible y $1\le p< \infty$ , entonces para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta=\delta(\varepsilon)$ tal que $$ \Vert T_hf-f\Vert_p<\varepsilon \ \ \text{ if}\ \ \vert h \vert < \delta $$ Cuando el operador $T_hf$ se define por $$ T_hf(x)= \begin{cases} f(x+h) & \text{if}\ x+h \in E, \\ 0 & \text{if}\ x+h \in \mathbb{R}^N-E \end{cases} $$
Prueba.Primero podemos suponer $f$ continua y con soporte compacto (y al final de la prueba utiliza la densidad de dichas funciones en $L^p$ ). Para todos los $x \in E$ tenemos que $$ \vert T_hf(x)- f(x)\vert^p=\vert f(x+h)-f(x) \vert^p \to 0 \ \ \text{if}\ \ \vert h \vert \to 0$$ Ahora $f$ es continua y con soporte compacto, por lo que $\Vert f \Vert_\infty < \infty$ entonces podemos escribir $$ \vert T_hf(x)- f(x)\vert^p \le \left(\vert f(x+h)\vert+\vert f(x) \vert\right)^p \le 2^p \Vert f \Vert_\infty$$ Por lo tanto, dejar que $K$ sea el soporte compacto de $f$ y $\vert h\vert < \delta$ tenemos que la función $\vert T_hf-f \vert$ desaparece fuera del conjunto $K_\delta=K+B(0,\delta)$ (la bola centrada en $0$ con radio $\delta$ ), que es medible. Así que podemos dominar $$ \vert T_hf-f \vert \le 2^p \Vert f \Vert_\infty \chi_{K_\delta}$$ Ahora, utilizando la DCT, podemos decir que $\Vert T_hf-f \Vert_p <\varepsilon$ para $|h|<\delta$ . Para $f \in L^p(E)$ genérico utilizamos la densidad de las funciones continuas y con soporte compacto.
La DCT es verdadera para familias numerables de funciones $\{f_n \}$ pero aquí se utiliza para una familia no contable $\{f_t\}_{t \in I \subseteq \mathbb{R}}$ , como por ejemplo $T_hf$ . Me las arreglé como sigue para dar un sentido a la prueba.
La DCT establece que si tenemos una secuencia de función medible $f_n$ tal que $f_n \to f$ en forma de punto, y todas las funciones $f_n$ están "dominados" por una función sumable $g$ es decir $|f_n(x)| \le |g(x)|, \ \forall n, \ \forall x$ Así que $$\lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} d \mu= \int_{E} f d \mu$$ Ahora tenemos un subconjunto $I$ de números reales (suponemos por semplicidad $I$ como intervalo), y una familia de funciones $\{f_t\}_{t \in I}$ (dominado por una función sumable $g$ ). Consideremos la función $$ \begin{aligned} \phi \colon I &\longrightarrow \mathbb{R} \\ t &\longmapsto \int_{E}f_t d \mu \end{aligned} $$ Ahora supongamos que tenemos la propiedad de que, fijado $\bar t \in I$ para todas las secuencias $\{t_n\} \subseteq I$ tal que $t_n \to \bar t$ como $n$ aumento, resultado que $f_{t_n} \to f_{t}$ de la misma manera. Por DCT tenemos que $$\lim_{n\to \infty}\phi(t_n) = \phi(\bar t)$$ para cada secuencia $t_n$ convergente a $\bar t$ . Así que para un teorema bien conocido de la topología, tenemos $$ \lim_{t \to \bar t} \phi(t)=\phi(\bar t) $$
Elección de $\phi(h)=T_hf$ y $\bar t=0$ hemos concluido el problema.
Porque no tengo práctica con $L^p$ espacio mi pregunta es si el razonamiento anterior es correcto o no. Mi profesor utiliza ese hecho fácil, sin argumentos largos, por lo que puede haber una forma de razonamiento más rápido?
Muchas gracias.
