¿Condición para el submanifold sumergido pero no incrustado?

Question

Reclamación un submanifold sumergido no es un submanifold incrustado si y sólo si su topología múltiple no concuerda con la topología subespacial.

Por qué sospecho que la afirmación es cierta El mapa de inclusión es siempre inyectivo por definición. Además, como es una restricción de la identidad, su derivado en todas partes es sólo la transformación de la identidad, y por lo tanto claramente inyectivo. Por lo tanto, la inclusión es siempre una inmersión suave.

Por lo tanto, la única manera en que el mapa de inclusión podría fallar en ser una incrustación suave es si su imagen no fuera homeomórfica al propio colector. Dado que su imagen siempre tiene la topología subespacial, la única forma en que podría dejar de ser un homeomorfismo es si la topología del múltiple fuera diferente de la topología subespacial.

Para la otra dirección procedemos por contraposición. Si su topología subespacial concuerda con su topología múltiple, entonces el mapa de inclusión tiene que ser un homeomorfismo.

¿Esto es correcto? Esta afirmación nunca se hace (creo) en la de Lee Introducción a los colectores lisos así que dudo que sea correcto, porque parece mucho más simple que su discusión sobre el tema.

También estaba luchando por entender por qué el mapa de inclusión no siempre sería una incrustación, y la única razón que se me ocurrió fue que podría no ser un homeomorfismo en su imagen si la topología del múltiple como "espacio independiente" era diferente de su topología como subespacio. Pero no sé si eso es realmente correcto.

Es decir, ni siquiera sé si la afirmación de que el mapa de inclusión es siempre una inmersión suave es correcta (definitivamente tiene que ser inyectivo).

Definiciones: Un submanifold sumergido es un subconjunto de otro colector que es un colector topológico, y el mapa de inclusión es una inmersión suave inyectiva, donde una inmersión suave es un mapa suave cuyo derivado es inyectivo en cada punto.

Un submanifold incrustado es un subconjunto de otro colector que es un colector topológico y para el cual el mapa de inclusión es una incrustación lisa, que es una inmersión lisa inyectada que también es un homeomorfismo en su imagen.

Answer 1

Lo que escribes es cierto, sólo que hay que tener un poco más de cuidado con las definiciones y los argumentos. El mapeo de inclusión no siempre tiene que ser una inmersión suave y la afirmación de que "la derivada de la inclusión es la transformación identidad" y esto no tiene sentido en general. Permítanme enunciar una definición y luego proporcionar algunos ejemplos:

Dejemos que $(M,\tau_M, \mathcal{A}_M)$ sea una variedad suave. Un submanifold inmerso de $M$ es un triple $(X,\tau_X, \mathcal{A}_X)$ donde:

1. El conjunto $X$ es un subconjunto de $M$ .
2. El conjunto $\tau_X$ es una topología en $X$ haciendo $(X,\tau_X)$ un colector topológico.
3. El conjunto $\mathcal{A}_X$ es una colección de gráficos sobre $(X,\tau_X)$ que define una estructura suave en $X$ .

tal que el mapa de inclusión $i \colon (X,\tau_x,\mathcal{A}_X) \rightarrow (M,\tau_M,\mathcal{A}_M)$ es una inmersión suave (y en particular, es continua).

Considere los siguientes ejemplos "artificiales":

1. Dejemos que $M = \mathbb{R}$ con la topología estándar y la estructura suave. Elija algún subconjunto $X \subseteq M$ para la que existe una biyección $\varphi \colon X \rightarrow \mathbb{R}^2$ (¡como conjuntos!). Utilice el mapa $\varphi$ para dotar $X$ con una topología $\tau_X$ y una estructura suave $\mathcal{A}_X$ que convierte $\varphi$ en un difeomorfismo. Entonces $(X,\tau_X, \mathcal{A}_X)$ satisface las tres primeras propiedades anteriores, pero el mapa de inclusión no es continuo y, en particular, no puede ser una inmersión suave.
2. Dejemos que $M = \mathbb{R}^2$ con la topología estándar y la estructura suave y dejemos que $X = \{ (x, |x|) \, | \, |x| < 1 \}$ . Sea $\tau_X$ sea la topología del subespacio en $X$ y considerar el mapa $\varphi \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ dado por $$ \varphi(x) = \begin{cases} \left( -e^{-\frac{1}{x^2}}, e^{-\frac{1}{x^2}} \right) & -\infty < x < 0, \\ (0,0) & x = 0, \\ \left( e^{-\frac{1}{x^2}}, e^{-\frac{1}{x^2}} \right). & 0 < x < \infty \end{cases}$$ Puede comprobar que $\varphi$ es un mapa suave con $\varphi(\mathbb{R}) = X$ y que $\varphi$ es un homeomorfismo hacia $(X,\tau_X)$ . Utilice el mapa $\varphi$ para dotar $(X,\tau_X)$ con una estructura suave $\mathcal{A}_X$ que convierte $\varphi$ en un difeomorfismo. Entonces $(X,\tau_X,\mathcal{A}_X)$ satisface las tres primeras propiedades y la inclusión es un homeomorfismo suave sobre la imagen pero no es una inmersión en $(0,0)$ . De hecho, Lee muestra que el conjunto $X$ no se puede dotar de una topología $\tau_X$ y una estructura suave $\mathcal{A}_X$ haciendo $(X,\tau_X,\mathcal{A}_X)$ en un submanifold inmerso.