Supongamos que tenemos los campos $L$, $M$ y $N$ todas infinitas extensiones de Galois algebraicas del campo $k$ tal que el $L \cap M$, $L \cap N$% y $N \cap M$ son extensiones dimensionales finitas del $k$. ¿$L \cap MN$ Es una extensión dimensional finita de $k$?
Respuesta
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No necesariamente.
Tome $k=\mathbb{Q}$, tome $L$ a la división de campo de la serie $\{x^{2^n}-2\mid n\text{ a positive integer}\}$, $M$ a la división de campo de la set $\{x^{2^n} - 3 \mid n\text{ a positive integer}\}$, e $N$ a la división de campo de la set $\{x^{2^n} - 6\mid n\text{ a positive integer}\}$.
A continuación, $L\cap M = L\cap N = N\cap M = \mathbb{Q}$ (adecuada subextension de $N/\mathbb{Q}$ contiene $\sqrt{2}$, por lo tanto $L$ no contiene $\sqrt{3}$; pero por un simétrica argumento, cada apropiado subextension de $M/\mathbb{Q}$ contiene $\sqrt{3}$ y, por tanto, $M$ no contiene $\sqrt{2}$; por lo tanto $L\cap M$ no puede ser una extensión adecuada de $\mathbb{Q}$; argumentos similares para los otros dos intersecciones).
Sin embargo, $MN$ contiene todos los $2^n$th raíces de $3$$6$, por lo tanto, contiene todos los $2^n$th raíces de $2$, por lo tanto, contiene $L$, lo $L\cap MN = L$ es infinito dimensional sobre $\mathbb{Q}$. Argumentos similares espectáculo $M\cap LN=M$$N\cap LM=N$.
Como alternativa, tomar el conjunto de los números primos y la partición en dos conjuntos infinitos, $P_1$$P_2$; a continuación, tome $L = \mathbb{Q}(\{\sqrt{p}\mid p\in P_1\})$, $M=\mathbb{Q}(\{\sqrt{p}\mid p\in P_2\})$. A continuación, escribir $P_1=\{p_1\lt p_2\lt p_3\lt\cdots\}$, $P_2 = \{q_1\lt q_2\lt q_3\lt\cdots\}$, y definir $T = \{p_iq_i\mid i=1,2,3,\ldots\}$ y deje $N=\mathbb{Q}(\{\sqrt{t}\mid t\in T\})$; de nuevo, $L\cap M=L \cap N=M\cap N = \mathbb{Q}$, pero $L\subseteq MN$, $M\subseteq LN$, y $N\subseteq LM$.
