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Que $0\le z \le 3$. Entonces, tenemos la desigualdad $z^2 - 2z - 3 \le 0$. Necesitamos esto porque tenemos $\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \le \left(\frac{a^4 + b^4 + c^4}{3}\right)^{1/2} = 1$.
Ahora, $a^2b+b^2c+c^2a \le (a^2+b^2+c^2)^{1/2}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^{1/2}$, así tenemos que demostrar $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \le a^2+b^2+c^2$. Tenemos $$2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = (a^2+b^2+c^2)^2 - (a^4+b^4+c^4) = (a^2+b^2+c^2)^2 -3.$ $ por lo tanto, si definimos $a^2+b^2+c^2 = z$, tenemos que demostrar $z^2-2z-3 \le 0$, que es lo que empezamos con.
Es suficiente para demostrar la desigualdad para las variables no negativas.
A probar una desigualdad más fuerte: $$a^2b+b^2c+c^2a\leq3\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\right)^3,$ $ que resuelve nuestro problema.
De hecho, por C-S %#% $ de #%, $$a^2+b^2+c^2=\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2}\leq\sqrt{(1+1+1)(a^4+b^4+c^4)}=3.$ $
Desde la desigualdad $$a^2b+b^2c+c^2a\leq3\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\right)^3=(a^2+b^2+c^2)\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\leq a^2+b^2+c^2.$ $
es homogéneo, podemos suponer que $$a^2b+b^2c+c^2a\leq3\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\right)^3$ y necesitamos tho demostrar que: $a^2+b^2+c^2=3$ $, pues $$a^2b+b^2c+c^2a\leq3.$, donde ${a,b,c}={x,y,z}$.
Por lo tanto, ser cambio y AM-GM obtenemos: $x\geq y\geq z$ $ $$a^2b+b^2c+c^2a=a\cdot ab+b\cdot bc+c\cdot ca\leq x\cdot xy+y\cdot xz+z\cdot yz=$ $ y hemos terminados!
