La intersección de conjuntos regularmente abiertos es regularmente abierta

Question

Este es un ejercicio de Willard Topología general .

Un subconjunto $B$ de un espacio topológico se llama regularmente abierto si $Int(Cl(B))=B$ .

Necesito demostrar que si $U$ y $V$ están abiertos regularmente entonces $Int(Cl(U\cap V))=U\cap V$ .

He estado usando los hechos que $Int(Y)=X\setminus Cl(X\setminus Y)$ , $Cl(A\cup B)=Cl(A)\cup Cl(B)$ y $Int(A\cap B) =Int(A)\cap Int(B)$ pero siempre acabo volviendo al punto de partida.

Agradezco su ayuda.

Answer 1

Una inclusión es obvia: $U\cap V \subset cl(U\cap V)$ así que $U\cap V=int(U\cap V)\subset int(cl(U\cap V)$ .

Para la otra inclusión, elija $x \in int(cl(U\cap V))$ . Entonces hay un conjunto abierto $O$ tal que $x \in O \subset cl(U\cap V)$ . Esto implica que $O\subset cl(U)$ y $O\subset cl(V)$ . Entonces $O \subset int(cl(U))=U$ y $O\subset int(cl(V))=V$ . En conclusión $O\subset U \cap V$ . Porque $x \in O$ se deduce que $x \in U\cap V$ y hemos terminado.

He utilizado que si $A \subset B$ entonces $cl(A) \subset cl(B)$ y $int(A) \subset int(B)$ . También he utilizado que si un conjunto $A$ está abierto, entonces $int(A)=A$ .

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Sin mencionar los puntos:

Denote $X=int(cl(U\cap V))$ . Entonces $X$ está abierto y $X \subset cl(U),cl(V)$ . Tomando los interiores obtenemos $X \subset int(cl(U))=U$ y similares $X \subset V$ . Por lo tanto, $X \subset U\cap V$ y hemos terminado.