El máximo esperado de una secuencia de iid Poissons

Question

Permita que$X_i \sim \mathrm{Pois}(1)$ sea una secuencia de$n$ iid variables aleatorias (con distribución de Poisson con el parámetro 1). Me interesa el comportamiento asintótico de$$\mathbb E[\max_{i \in \{1\ldots n\}}X_i],$$ i.e., the expected maximum value of the sequence for large $ n $.

La respuesta exacta es$$\sum^\infty_{k = 0}\left[1-\left(\sum_{i=0}^k \frac{e^{-1}}{i!}\right)^n\right],$ $, pero no estoy seguro de cómo hacer un masaje en algo que sea fácil de usar. Creo que los resultados que estoy buscando están en un documento llamado "Una nota sobre Poisson maxima", pero no puedo encontrar una copia en línea.

Answer 1

Aquí está mi conjetura educada sobre cómo abordar este problema. Sugeriría usar el teorema del límite central para estimar la expectativa de las variables aleatorias descritas anteriormente y el siguiente hecho sobre la norma Lp. $${(\sum^{N}_{i=1}x^{p}_{i}})^{1/p}\rightarrow max\{x_1,...,x_N\}$ $, como p goe al infinito