Buscar el valor de

Question

Encontrar $\sqrt{\frac{1}{2}}.\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt\frac{1}{2}}.\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt\frac{1}{2}}}....\infty$

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Que $x=\sqrt{\frac{1}{2}}.\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt\frac{1}{2}}.\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt\frac{1}{2}}}....\infty$

$\log x=\frac{1}{2}\log(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\log(\frac{1}{2}+\sqrt\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\log(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt\frac{1}{2}})+....$

No sé cómo solucionarlo más.

Answer 1

Indica el $n$-ésimo factor $x_n$. Aumenta el % de secuencia $(x_n)$y $$ x_2 = \sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = 1 $, pues $$ x_1, x_2 \cdots x_n \ge x_1 x_2 ^ \to \infty {n-1} \,. $$

Answer 2

Comenzar por investigar la secuencia $$x0:=0,\quad x{k+1}:=\sqrt{{1\over2}+x_k}\quad(k\geq0)\ .$ $ tiene un cierto límite $\xi$. %#% De saber #% a conclusiones sobre el límite $\xi$ $

Answer 3

Que $$x = \prod_{n = 1}^{\infty} y_n \qquad \text{and} \qquad yn = \sqrt {\frac {1} {2} + \sqrt {\frac {1} {2} + \cdots + \sqrt {\frac {1} {2}}}},$$ and $$y = \lim{n \to \infty} yn.$$ We have $$y{n + 1} = \sqrt {\frac {1} {2} + y_n},$$ which, passing to limit, gives $$y = \sqrt {\frac {1} {2} + y}.$$ We have $y = \frac {\sqrt {3}} {2} + \frac {1} {2} $, which is $> 1 $, and that's why $x $ diverges to $ + \infty$.

Answer 4

Sugerencia: que $a =\dfrac{1}{2}$ y $b$ ser la expresión que está intentando calcular, entonces $b^2 = a + b$. Puede utilizar ecuación cuadrática para terminar.