Métrica inducida por una norma: ¿qué condiciones debe cumplir esta métrica?

Question

$(I)$

He estado ojeando algunos problemas relativos a las métricas no inducidas por normas, y he encontrado un comentario que decía que dicha métrica debería ser una función monótona cóncava. Aquí es el post al que me refiero.

¿Podría decirme a qué se debe esto?

$(II)$

Sé que si una métrica $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ ( $X$ es un espacio vectorial con escalares en $\mathbb{K}$ ) satisface:

$(1) d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda| d(x,y) \ \ \ \forall x,y \in X, \ \lambda \in \mathbb{K}$ En particular

$d(\lambda x,0) = |\lambda| d(x,0) = |\lambda| \ ||x||$

$(2) d(x+w, y+w) = d(x,y) \ \ \forall x,y,w \in X$ En particular

$d(x-y,0)=d(x,y)$

entonces la función $\|u\|:= d(u,0)$ es una norma. Tengo problemas para demostrar lo contrario, es decir, que si una métrica define una norma, entonces satisface las dos condiciones $(1), \ (2)$ .

¿Podría ayudarme con eso también?

¿Es cierto que si queremos que una métrica sea inducida por una norma debe satisfacer las dos condiciones mencionadas anteriormente?

Les agradecería mucho su opinión.

Answer 1

dicha métrica debe ser una función monótona cóncava

En realidad nadie ha dicho eso en el post enlazado. Una métrica es una función sobre $X\times X$ , donde $X$ es el conjunto de puntos subyacente. Ser cóncavo y monótono es una propiedad que tiene una función sobre $\mathbb R$ puede tener, no una función en $X\times X$ .

Lo que es cierto: si $d$ es una métrica y $\phi:[0,\infty)\to [0,\infty)$ es una función cóncava creciente tal que $\phi(0)=0$ entonces $\phi\circ d$ también es una métrica.

Tengo problemas para demostrar lo contrario, es decir, que si una métrica define una norma, entonces satisface las dos condiciones (1), (2).

Por lo tanto, la suposición es que $d(x,y)=\|x-y\|$ où $\|\cdot\|$ es una norma. Sólo hay que repasar la lista, sustituyendo $d(x,y)$ con $\|x-y\|$ en todas partes, y comprobar que la igualdad se mantiene en virtud de las propiedades de la norma. Por ejemplo, $$d(\lambda x, \lambda y) = \|\lambda x-\lambda y\| = |\lambda| \,\|x-y\| = |\lambda|\,d( x, y)$$ y así sucesivamente.