Operador como $-1$ es el elemento de identidad

Question

Pregunta corta
¿Sabe usted que un operador como $-1$ es el elemento de identidad ?

Pregunta Larga
Esta mañana he tenido un momento difícil con elementos de identidad.
Estoy bastante seguro de que la siguiente no es muy riguroso, así que por favor no dude en comentar !
Yo voy a pensar en $\overline{\mathbb{R}}$, lo que significa que $\infty$ $-\infty$ son números como otros número real. De acuerdo a la adición, podemos dividir el segmento en dos partes : $[-\infty, 0]$$[0, +\infty]$.
De acuerdo a la multiplicación, podemos dividir estos dos segmentos en cuatro: $[-\infty, -1]$, $[-1, 0]$, $[0, 1]$ y $[1, +\infty]$.
Así que podemos ver $5$ números clave : $-\infty, -1, 0, 1, \infty$.
El problema es que no puedo encontrar una función de manera que $-1$ es un elemento de identidad.
Espero que el problema no es trivial ;)
Podemos imaginar el problema así :
$$Function \to Identity\; element$$ $$max \to -\infty$$ $$??? \to -1$$ $$+ \to 0$$ $$\times \to 1$$ $$min \to \infty$$

Answer 1

Tomar cualquier biyección $\phi:{\Bbb R}\to{\Bbb R}$ y definir una operación $$xy=\phi\bigl(\phi^{-1}(x)\phi^{-1}(y)\bigr)\ .$ $, entonces el elemento de identidad para $$ $\phi(1)$, que podría ser cualquier cosa que te gusta, dependiendo de su opción de $\phi$.

En particular, la opción $\phi(x)=x-2$ da el ejemplo del comentario de @MikeMiller.

Podría hacer lo mismo con además: %#% $ de #% y luego el elemento de identidad sería $$x*y=\phi\bigl(\phi^{-1}(x)+\phi^{-1}(y)\bigr)\ .$.