¿Probar inversiones con permutaciones?

Question

Demostrar (si f y g son permutaciones) que $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$ .

Mi profesor me dio la pista de que tiene algo que ver con el mapeo de la identidad, pero eso no me ayuda en absoluto.

Esto es lo que sé, pero no estoy seguro de cómo utilizarlo:
Una permutación es una biyección, por lo que tiene una inversa que también es una biyección.
Y supongo que usarías algo como $(f \circ g)^{-1} \circ (f \circ g) = I_A$

Answer 1

Para mostrar $u$ y $v$ son inversos, demostramos que $u\circ v$ y $v\circ u$ son la función de identidad.

En este caso, queremos mostrar $f\circ g$ y $g^{-1}\circ f^{-1}$ son inversos, o, de manera equivalente

$$(f\circ g)\circ (g^{-1}\circ f^{-1})={\rm Id}=(g^{-1}\circ f^{-1})\circ (f\circ g).$$

Para demostrarlo, utilice la asociatividad (generalizada) de la composición de funciones con la regla de que ambas composiciones $u\circ u^{-1}$ y $u^{-1}\circ u$ son $\rm Id$ para cualquier función $u$ .

Tenga en cuenta que ambas condiciones $u\circ v=\rm Id$ y $v\circ u=\rm Id$ debe cumplirse para $u$ y $v$ sean funciones inversas; es posible que pares de funciones no biyectivas satisfagan una pero no la otra.

Answer 2

Empezar con
$(f \circ g)^{-1} \circ (f \circ g) = I_A$
Como sabemos la composición de la función es Asociativa, es decir. $(f \circ g)\circ h= f \circ (g\circ h)$
Aplicando esta $=>((f \circ g)^{-1} \circ f) \circ g = I_A $
$=>((f \circ g)^{-1} \circ f) \circ g \circ g^{-1} = I_A \circ g^{-1} $
$=>((f \circ g)^{-1} \circ f) \circ I_A = g^{-1} $
$=>(f \circ g)^{-1} \circ f = g^{-1} $
$=>(f \circ g)^{-1} \circ f \circ f^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} $
$=>(f \circ g)^{-1} \circ I_A = g^{-1} \circ f^{-1} $
$=>(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} $