x $A^{100 }$ donde $A = \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3& 4 \end{bmatrix}$

Question

Computar $A^{100 }$ donde $A = \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3& 4 \end{bmatrix}$ .

Puedo calcular $A^{100}$ usando una calculadora, pero mi pregunta es que si hay alguna fórmula/método corto o hay algún truco para encontrar el $A^{100}$ ?

Answer 1

La respuesta convencional va a ser diagonalizar la matriz en $A=P\Lambda P^{-1}$ y luego calcular $P\Lambda^{100}P^{-1}$ pero una vez que tienes los valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$ hay formas de hacerlo sin calcular una base propia:

• Descomponer $A$ en $\lambda_1P_1+\lambda_2P_2$ , donde $P_1$ y $P_2$ son proyecciones sobre los correspondientes eigespacios con $P_1P_2=P_2P_1=0$ . Hay una fórmula bastante sencilla para estas proyecciones en términos de $A$ y los dos valores propios. Si se expande $A^{100}$ usando el teorema del binomio, encontrarás que todos los términos menos dos desaparecen.
• Utilice el teorema de Cayley-Hamilton para escribir $A^{100}=aI+bA$ para unos coeficientes indeterminados $a$ y $b$ . Esta ecuación también es satisfecha por los valores propios, lo que nos da el sistema de ecuaciones lineales $a+b\lambda_i=\lambda_i^{100}$ para $a$ y $b$ .

Lo anterior supone que $A$ tiene distintos valores propios reales. Si no lo son, tendrás que modificar un poco los métodos anteriores.

Answer 2

No es necesario realizar diagonalizaciones.

Los valores propios de $$A = \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3& 4 \end{bmatrix}$$ son $$\frac {5\pm\sqrt {33}}{2}$$

El teorema de Cayley-Hamilton indica que $$A^{100}=\alpha A + \beta I.$$

Podemos encontrar los coeficientes $\alpha$ y $\beta $ por ecuaciones

$$ \alpha \lambda _1 +\beta = \lambda _1^{100}\\ \alpha \lambda _2 +\beta = \lambda _2^{100}$$ Dónde $\lambda _1$ y $\lambda _2$ son los valores de $A.$

Answer 3

Podrías utilizar la diagonalización.

Dejemos que $A$ sea una matriz, entonces si se diagonaliza $A$ entonces se obtiene $A=PBP^{-1}$ con $B$ como una matriz diagonal y $P^{-1}$ una matriz invertible. Si se trata de $A^2$ entonces es igual a $A^2=PB^2P^{-1}$ . Del mismo modo, para $A^n=PB^nP^{-1}$

$A^{100}=PB^{100}P^{-1}$

Answer 4

Primero se puede diagonalizar la matriz de la siguiente manera: $$A=P^{-1}DP,$$ donde $P$ es una matriz ortogonal. La matriz $P$ es la matriz de vectores propios $\{v_1,v_2\}$ que corresponden a los valores propios $\{\lambda_1,\lambda_2\}$ de $A$ . Aquí, $$D=\mathrm{diag}\{\lambda_1,\lambda_2 \}$$

Después de la diagonalización, se puede calcular $A^{100}$ de la siguiente manera: $$A^{100} = (P^{-1}DP)^{100}=P^{-1}D^{100}P = P^{-1}\mathrm{diag}\{\lambda_1^{100},\lambda_2^{100}\}P. $$

Answer 5

Pista: la función característica de la matriz es $$\lambda^2=5\lambda+2$$ por lo que según el teorema de Caylay-Hamilton tenemos $$A^2=5A+2$$