¿Para qué $a$ le los gráficos de $y=a^x$ $y=\log_a x$ ser tangente?

Question

Ayer una pregunta apareció en mi mente antes de ir a dormir y yo no podemos resolver (probablemente porque carecen de mis conocimientos de matemáticas). Asumiendo que es una función

$$f(x) = a^x$$

Su función inversa sería como este:

$$f^{-1}(x) = \log_a x$$

Pregunta:

¿Para que valor de $a$ le los gráficos de estas dos funciones sólo tocan en un único punto común (de tangencia)?

Answer 1

Básicamente, la función inversa se obtiene al encontrar la imagen en el espejo de $y=a^x$,$y=x $ .Ahora se nota tanto la función y su inversa para que se intersecan en un solo punto, $y=x $ debe ser la tangente común a ambas. Así que la pendiente de la tangente de $y=a^x $ ,$y=\log_a x$ y $y=x $ debe ser igual. Por eso,$ 1=a^x \ln a=\ln x{\log_a e } $ ahora tenemos 3 ecuaciones y 2 incógnitas, siendo 'a' y el otro el valor de $x $ a que las funciones que tiene solo un punto de intersección . resolver finalmente tener a $a^e=e $, lo que da el valor de $a $ aproximadamente de 1,44.

Answer 2

Como @Jazmín punto, debido a que $a^x$ $\log_ax$ son inversos podemos agregar $x$ conseguir $x=a^x=\log_ax$.

Se puede decir más de este: $a^x=\log_a x\implies a^{a^x}=x$, pero también se $x=a^x$ por lo tanto $a^{a^x}=\log_a x\implies a^{a^{a^x}}$ y así sucesivamente.

Por lo tanto estamos buscando para $a,x$ de manera tal que la secuencia de $x,a^x,a^{a^x},\cdots$ es una constante, $a\in\Bbb R^+\setminus\{1\},x\in \Bbb R^+$.

Como se muestra aquí tenemos que $e^{-e} \leq a \leq e^{\frac{1}{e}}$ $a^{a^{.^{.^{.}}}}$ a converger, por lo tanto, tomando la secuencia y tomar la $1/x$ poder de la que obtenemos $x^{\frac1x}\in[e^{-e},e^{\frac1e}]$, adivinando $e$ podemos encontrar que $x=e,a=e^{\frac1e}$ obras. Pero $x=e$ no es la única $x$ que funciona. Tomar cualquier $x$ tal que $x^{\frac1x}\in[e^{-e},e^{\frac1e}]$ se puede demostrar que $x,a=x^{\frac1x}$ son tupla que responden a la condición de los post.

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Editar, poco después de que he publicado me di cuenta de que he cometido un pequeño error.

Como dije en el post $a=x^{\frac1x}$ nos da $a^y=\log_ay=y$,$y=x$, pero también queremos que sea tangente por lo $(a^y)'\mid_{y=x}=\ln(a)a^x=1$, pero $a^x=x$ $x\ln(a)=1\implies x\ln\left(x^{\frac1x}\right)=1\implies\ln (x)=1\implies x=e\implies a={e^\frac1e}$

Answer 3

Según un comentario OEIS , el % sólo base $a$tal es el que $\exists \xi \in A \subset\mathbb R: f(\xi)=f^{-1}(\xi)$ $a=e^{1/e}$ $\xi=e$. Numéricamente esto parece ser cierto, como Oldboy.

Si es único (para cualquier $a$) tiene que ser probado.

Answer 4

Tal $a$ probabilidad existe y está en algún lugar en el siguiente rango que puede ser enangostado abajo más lejos: $$1.44\lt a \lt 1.45$ $

EDICIÓN: $$a\approx1.444667861, \qquad x\approx 2.71827$ $

Tenga en cuenta que $x$ valor es muy cercano a $e$. No sé cómo explicarlo pero hace que este problema realmente, realmente interesante!