Aquí están mis pensamientos sobre lo que son espacios vectoriales (y los objetos matemáticos en general)...
Espacios vectoriales no son una cosa. Como en la idea de un espacio vectorial no es tanto un objeto, sino una descripción. ¿Qué es una descripción? Bueno, cualquier cosa que satisfaga sus axiomas. Cuando usted tiene un conjunto de cosas que pueden ser:
- Agregó juntos razonable (es decir, Además satisface cierre, identidad, inversa, la asociatividad, además de conmutatividad)
- Escala por el número de clases (el anillo de los enteros, el campo de los números racionales, los números reales o números complejos)
Con el requisito adicional de que:
- Escala interactúa con la adición de un distributiva.
Así, en una forma, de un espacio vectorial es más de un objeto abstracto, que simboliza todas las cosas que se ajusta el vector de descripción. Si usted piensa en un vector de un espacio como este, como una descripción, en lugar de un sustantivo refiriéndose a un objeto específico, entonces usted va a ser menos propensos a ser atrapado en el pensamiento en $\mathbb{R}^n $ (que es una verdadera vergüenza, porque te estás perdiendo de las cosas maravillosas que uno puede hacer en muchos otros espacios vectoriales).
Se pueden conceptualizar otros objetos matemáticos, de esta manera, desde el "diario" de los objetos a los objetos de la vida cotidiana. E. g.
- ¿Qué es un triángulo? Algo que encaja en la descripción de algo que tiene tres lados.
- ¿Qué es una función? Algo que encaja en la descripción de algo que envía los elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto de una manera razonable (es decir, todos los elementos del dominio se asigna a algo).
- ¿Qué es un grupo? Cualquier cosa que satisfaga la descripción de algo que contiene las cosas que se pueden combinar razonablemente (es decir, una operación binaria que es cerrado, tiene una identidad, tiene inversos, y es asociativa).
Para mí, esto también responde a por qué la matemática es tan aplicable en todas partes, así como por qué es tan abstracto. Es porque sus teorías no son acerca de algo en particular, como las fuerzas o de los átomos o de las células, sino más bien, algo que se ajusta a una cierta descripción.
Creo que la analogía siguiente resume perfectamente mi respuesta a su pregunta:
Preguntar ¿qué es un espacio vectorial es como preguntar ¿qué es lo que está en rojo. Bueno, es algo que es de color rojo.
Espero que esto sea de alguna ayuda.
EDIT: A la dirección de su ejemplo de un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$, el conjunto de pares de números reales que son el componente añadido de sabio y de escala por los números reales en una manera apropiada.
Tenga en cuenta que un espacio vectorial debe ser cerrado bajo la suma, por lo que necesariamente debe ser todo el espacio de $\mathbb{R}^2$, ya que puede "caer" de un subconjunto por repetir la adición de algunos vectores. El punto de cierre de axiomas de un espacio vectorial es que lo que no se puede "caerse" por adición.
También, tenga en cuenta que no me refiero a $\mathbb{R}^2$ "el" espacio 2D. Es porque hay muchos otros espacios vectoriales por ahí que son también "2D". E. g. El espacio de polinomios
$$
\{ c_1 x + c_0 | c_1,c_0 \in \mathbb{R} \}
$$
Usted puede ser capaz de ver intuitivamente que este espacio debe ser en 2D, pero entonces surge la pregunta: ¿Cómo hace uno para definir la dimensión de un espacio vectorial cuando el espacio vectorial es algo que encaja en el vector de la descripción?
Esa es la motivación para definir las bases de un espacio vectorial (plural de base), que a su vez requiere de la idea de la combinación lineal, span, independencia lineal.
