¿Cómo distinguir los números algebraicos como raíces?

Question

Suponiendo que se desea definir un número algebraico como la raíz de un polinomio. El problema es el polinomio tiene más de una raíz. Pero cada raíz tiene propiedades diferentes. (¿O no?)

Si las raíces de polinomios irreducibles, por ejemplo, las raíces de $x^3-2=0$, realiza cualquiera de las operaciones en el campo dependen de la raíz en particular que usted elija?

es decir, el polinomio $(x-3)(x^2-3)=0$ tiene dos tipos de raíces.

Pero en general si se multiplican dos números algebraicos que es el enésimo y mth raíz de polinomios. Se podría decir que el resultado es un número algebraico que es la raíz de una mayor polinomio que es la raíz de pth.

Answer 1

Si las raíces de polinomios irreducibles, por ejemplo, las raíces de $x^3−2=0$, realiza cualquiera de las operaciones en el campo dependen de la raíz en particular que elija?

Qué campo? Hay varios campos relevantes que usted pueda tener en mente.

Si $F$ es un campo y $p(x) \in F[x]$ un polinomio irreducible, el campo de $K=F[x]/\langle p(x) \rangle$ es una extensión del campo de $F$ que contiene una raíz de $p$. También existe la división de campo de $L$ $F$ que se extiende $F$ y contiene todas las raíces de $p$. Y por último, cuando el campo base $F$ es de los racionales $\mathbb{Q}$, cada una de las $K$ $L$ puede ser realizado como subcampos de $\mathbb{C}$; en el caso de $K$, esto puede ser factible en más de una forma, como es el caso con su ejemplo,$p(x)=x^3-2$.

Los diferentes incrustaciones de $K$ $\mathbb{C}$ son todos isomorfos, por lo que ninguna de las operaciones dentro de los campos de "depender" de alguna manera en la incrustación de que usted ha elegido (en el sentido de que la raíz de las raíces complejas que has elegido para traer). El campo de resumen $K$ del curso no depende de cualquier elección, ya que cuenta con una definición única independiente de las decisiones.

El campo $L$ es diferente (en su caso, tiene el grado $6$$\mathbb{Q}$, en lugar de $3$), pero, también, está determinada únicamente. Ninguna de las opciones que participan.

Pero en general si se multiplican dos números algebraicos que es el n y mth raíz de polinomios. Se podría decir que el resultado es un algebraica de números, que es la raíz de una mayor polinomio que es el la pth raíz.

El producto de dos números algebraicos es un algebraica de números, sí. No hay un orden natural en las raíces, si es eso lo que quieres decir, así que no podemos hacer una afirmación como "la 3ª raíz de este polinomio veces la 5ª raíz del polinomio es el 12 de raíz de ese polinomio."