Tengo esta pregunta de un examen de admisión. Dado que f(x)=1+100∑k=0(−1)k+1(k+1)!x(x−1)(x−2)⋯(x−k) find S(f(x))-S(f'(x))whereSdenotesthesumoftherealrootsforf(x)respectivelyf'(x)
Aquí es cómo trató, desde x=1,2,…,100,101 la parte de la suma se desvanece poco a poco y
f(1)=1−1=0$$f(2)=1-2+\frac{1}{2!}2(2-1)=0 f(3)=1-3+\frac{1}{2!}3(3-1)-\frac{1}{3!}3(3-2)(3-1)=\binom{3}{0}-\binom{3}{1}+\binom{3}{2}-\binom{3}{3} and we can see a pattern in the above equation so that we can rewrite f 3 as (1-1) ^3=0\, and indeed that f (101) =(1-1) ^ {101} = 0
Puesto que el polinomio es también de orden 101, las raíces son x=1,2, \ldots, 101 giving:S(f(x))=\sum_{j=1}^{101}j =5151 Is this correct? And how can S(f'(x)) be evaluated ? This doesnt seem so obvious.. Also now we can rewrite % f(x)=-\frac{1}{101!}(x-1)(x-2)\cdots(x-101)