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Raíces de f y f 1+100k=0(1)k+1(k+1)!x(x1)(x2)(xk)

Tengo esta pregunta de un examen de admisión. Dado que f(x)=1+100k=0(1)k+1(k+1)!x(x1)(x2)(xk) find S(f(x))-S(f'(x))whereSdenotesthesumoftherealrootsforf(x)respectivelyf'(x)

Aquí es cómo trató, desde x=1,2,,100,101 la parte de la suma se desvanece poco a poco y
f(1)=11=0$$f(2)=1-2+\frac{1}{2!}2(2-1)=0 f(3)=1-3+\frac{1}{2!}3(3-1)-\frac{1}{3!}3(3-2)(3-1)=\binom{3}{0}-\binom{3}{1}+\binom{3}{2}-\binom{3}{3} and we can see a pattern in the above equation so that we can rewrite f 3 as (1-1) ^3=0\, and indeed that f (101) =(1-1) ^ {101} = 0

Puesto que el polinomio es también de orden 101, las raíces son x=1,2, \ldots, 101 giving:S(f(x))=\sum_{j=1}^{101}j =5151 Is this correct? And how can S(f'(x)) be evaluated ? This doesnt seem so obvious.. Also now we can rewrite % f(x)=-\frac{1}{101!}(x-1)(x-2)\cdots(x-101)

1voto

Dachi Imedadze Puntos 6

Tenemos

$$f(x) = a{101}x^{101} + a{100}x^{100} + \cdots$$

y sabemos que $a{101} = -\frac1{101!}. Fórmulas de Vieta dan $5151 = \text{ sum of roots of } f = -\frac{a{100}}{a_{101}}

así a_{100} = \frac{5151}{101!}.

El derivado es

$$f'(x) = 101a{101}x^{100} + 100a{100}x^{99} + \cdots$$

así las fórmulas de Vieta que %#% $ #%

0voto

Cesar Eo Puntos 61

De acuerdo a Vieta dado el polinomio

p_n(x) = a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0\\ p'_n(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1

ahora

S_{100}(x) = -\frac{a_{100}}{a_{101}}\\ S'_{100}(x) = -\frac{(101-1)a_{100}}{101 a_{101}}

Aquí

a_{101} = \frac{(-1)^{101}}{101!}\\ a_{100} = -a_{101}\frac{100(100+1)}{2}+\frac{(-1)^{100}}{100!}

entonces

S_n(x) = 5151\\ S'_n(x) = 5100

y, finalmente,

S_{100}(x)-S'_{100}(x) = 5151-5100 = 51

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