Dada la continua $f:\{0,1\}^S\to[0,1]$ con S innumerables y $f(\sigma)=1$, mostrar que $f(\tau)=1$ $\tau\neq\sigma$

Question

Deje $S$ ser una multitud innumerable y considerar el espacio $\{0,1\}^S$ por debajo del producto de la topología de donde $\{0,1\}$ es discreto. Deje $f:\{0,1\}^S\to[0,1]$ ser una función continua y supongamos $f(\sigma)=1$ algunos $\sigma\in\{0,1\}^S$. Necesito mostrar que $f(\tau)=1$ algunos $\tau\in\{0,1\}^S\setminus\{\sigma\}$.

Mi primer instinto fue a tomar nota de las cardinalidades. Desde $S$ es incontable, $\{0,1\}^S$ tiene una cardinalidad de, al menos,$2^{\aleph_1}$, mientras que de $[0,1]$ tiene una cardinalidad de sólo $2^{\aleph_0}$, lo $f$ no puede ser inyectiva. Además, cada vacía elemento base en el producto de la topología es un producto de subconjuntos de a $\{0,1\}$ una cantidad no numerable de lo que debe ser $\{0,1\}$. Por lo tanto, cada vacía base del elemento, y por lo tanto cada conjunto abierto no vacío en $\{0,1\}^S$, debe tener una cardinalidad de, al menos,$2^{\aleph_1}$.

Desde $f$ es continua, $(a,1]$ está abierto en $[0,1]$, y $f(\sigma)=1$, $\ f^{-1}(a,1]$ debe tener una cardinalidad de, al menos,$2^{\aleph_1}$, lo $f$ no puede ser de uno a uno en cualquier intervalo que contenga $1$. De hecho, para cualquier intervalo de $(a,1]$, no debe existir $b\in(a,1]$ tal que $f^{-1}(\{b\})$ es incontable. Mi problema es que no tengo idea de cómo utilizar esta a la conclusión de que la $f^{-1}(\{1\})$ contiene más que $\sigma$.

Otro potencialmente útiles cosa es que $\{0,1\}^S$ es compacto, ya que es un producto compacto, establece que significa que el Valor Extremo Teorema se aplica aquí.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f^{-1}({1}) = \cap_{n>0}\, f^{-1}\left((1-n^{-1}, 1]\right)$. En particular $\sigma$ se encuentra en una intersección contable de conjuntos abiertos de base. Concluir que existe un conjunto enumerable $T\subset S$ tal que $f(\tau) = f(\sigma)$el % si % coinciden $\tau$y $\sigma$ $T$.